Question

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (3;0; 1) параллельно векторам = (0; -1; 1) и Б= 4:2;0) (36)

Answer 1

Дана точка М (3;0; 1) и векторы а = (0; -1; 1) и б= (4:2;0).

Для начала надо найти координаты вектора, перпендикулярного искомой плоскости. Таковым является векторное произведение заданных векторов:

   i        j       k|        i        j

 0      -1       1|       0       -1

  4       2       0|      4       2   =    0i + 4j + 0k - 0j - 2i + 4k =

= -2i + 4j + 4k.

Координаты нормального вектора (-2; 4; 4).

Вспомним, что в уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0 вектор (A;B;C) является вектором, перпендикулярной заданной плоскости. Поэтому искомое уравнение имеет вид -2x + 4y + 4z + D = 0

Остается найти свободный коэффициент D - его найдем из условия, что плоскость проходит через точку М (3;0; 1).

Подставляем значения в уравнение:

-2*3 + 4*0 + 4*1 + D = 0,

-6 + 0 + 4 + D = 0 ,

D = 2 .

Искомое уравнение -2x + 4y + 4z + 2  = 0. Сократим на (-2).

Ответ: x - 2y - 2z - 1 = 0

Answer 2

Уравнение плоскости можно записать в виде:

Ax + By + Cz + D = 0,

где A, B и C - коэффициенты плоскости, а (x, y, z) - произвольная точка на плоскости.

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку M(3, 0, 1) и параллельной векторам A(0, -1, 1) и B(4, 2, 0), мы можем воспользоваться свойством: вектор, перпендикулярный плоскости, перпендикулярен её нормали.

Найдём нормаль к плоскости, используя векторное произведение векторов A и B:

N = A × B,

где × обозначает векторное произведение.

Вычислим векторное произведение:

N = A × B = (0, -1, 1) × (4, 2, 0),

N = ((-1) * 0 - 1 * 2, 0 * 4 - 1 * 0, (-1) * 2 - (-1) * 4), N = (-2, 0, 2).

Теперь у нас есть нормаль к плоскости N(–2, 0, 2). Мы можем использовать этот вектор и точку M(3, 0, 1), чтобы записать уравнение плоскости:

-2x + 0y + 2z + D = 0.

Подставим координаты точки M и найдем D:

-2 * 3 + 0 + 2 * 1 + D = 0, -6 + 2 + D = 0, D = 4.

Итак, уравнение плоскости:

-2x + 2z + 4 = 0.