Question

Дано, что площадь основания конуса Sосн.=256π кв. ед. изм. Найди площадь боковой поверхности конуса, если осевое сечение конуса — равносторонний треугольник.​

Answer 1

Дано:

Sосн = 256 π

L - образующая конуса

D - диаметр основания конуса

L = D

Найти:

Sбок - площадь боковой поверхности конуса

Решение:

Площадь основания конуса

Socн = 0,25 πD²  ⇒ D = 2 · √(Sосн : π) = 2 · √(256π : π) = 32;

L = D = 32

Площадь боковой поверхности конуса

Sбок = 0,5 πDL = 0.5 · π · 32 · 32 = 512π;

Ответ:

Sбок = 512π кв. ед. изм.

Answer 2

Площадь основания конуса обозначается как $S_{\text{осн.}}$ и дана равной $256\pi$ квадратных единиц.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти с помощью формулы:

$S_{\text{бок.}} = \pi r_{\text{осн.}} l,$

где $r_{\text{осн.}}$ - радиус основания конуса, $l$ - образующая конуса.

Так как осевое сечение конуса - равносторонний треугольник, все его стороны равны. Пусть длина стороны равностороннего треугольника равна $a$.

Для равностороннего треугольника справедлива следующая формула:

$a = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \text{длина основания}.$

В данном случае длина основания равна $2r_{\text{осн.}}$, так как радиус основания - это половина длины основания:

$a = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2r_{\text{осн.}} = \frac{\sqrt{3}}{2} r_{\text{осн.}}.$

Площадь основания конуса:

$S_{\text{осн.}} = \pi r_{\text{осн.}}^2.$

Выразим $r_{\text{осн.}}$ из этой формулы:

$r_{\text{осн.}} = \sqrt{\frac{S_{\text{осн.}}}{\pi}} = \sqrt{\frac{256\pi}{\pi}} = 16.$

Теперь можем найти длину образующей $l$ с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной основания, радиусом основания и образующей:

$l^2 = r_{\text{осн.}}^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 16^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} r_{\text{осн.}}\right)^2 = 16^2 + \frac{3}{4} \cdot 16^2 = \frac{25}{4} \cdot 16^2.$

$l = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 16 = 40.$

Теперь мы можем подставить значения $r_{\text{осн.}}$ и $l$ в формулу для площади боковой поверхности конуса:

$S_{\text{бок.}} = \pi r_{\text{осн.}} l = \pi \cdot 16 \cdot 40 = 640\pi.$

Итак, площадь боковой поверхности конуса равна $640\pi$ квадратных единиц.