Question

Теорема. Беау. Остаток от деления многочлена ftx) на дау- член л а равен fa).Теорема 2. Для того чтобы число хта было корнем многочлена f(x), необходимо и достаточно, чтобы многочлен f(x) de-шлея на двучлен - а без остатка.​

Answer 1

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x - a) равен f(a)

Доказательство

f(x) = (x - a)·g(x) + r, где g(x) - частное, имеет степень на 1 меньше, чем f(x), а r - число (многочлен степени 0)

Тогда, подставляя x = a получаем:

f(a) = (a - a)·g(a) + r, то есть получаем f(a) = r, или r = f(a) - что и требовалось.

Теорема 2

x = a - корень f(x) ⇔ f(x) делится на (x - a)

Доказательство

из теоремы Безу получаем, что если f(a) = 0 (то есть a - корень f(x)) ⇒ f(x) = (x - a)·g(x) + 0 ⇒ f(x) при делении на (x - a) дает g(x) при 0-м остатке, а значит делится (x - a)

Обратно: раз f(x) делится на (x - a), значит остаток равен 0, а он по теореме Безу равен f(a), то есть a - корень f(x)

Answer 2

Ваши сообщения содержатся в русскоязычной математической терминологии. Давайте разберемся с высказываниями, которые вы предоставили.

1. Теорема Безу (Теорема о делении с остатком): Теорема Безу утверждает следующее: Пусть дан многочлен $f(x)$ и задан ненулевой многочлен $g(x)$. Тогда существуют такие многочлены $q(x)$ (частное) и $r(x)$ (остаток), что $f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$, где либо $r(x) = 0$, либо степень $r(x)$ меньше степени $g(x)$.

2. Теорема о корнях многочлена: Эта теорема гласит следующее: Для многочлена $f(x)$ и числа $a$, число $a$ является корнем $f(x)$ (то есть $f(a) = 0$) тогда и только тогда, когда $f(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка, то есть $f(x) = (x - a) \cdot q(x)$, где $q(x)$ - некоторый многочлен.

Таким образом, обе теоремы описывают важные свойства деления многочленов и их корней. Теорема о делении с остатком (Теорема Безу) устанавливает, как можно делить многочлены, а теорема о корнях многочлена даёт критерий для определения, является ли число корнем данного многочлена.