Question

Доказать что n^4 - n^2 кратно 12 при любом целом n

Answer 1

n⁴–n²=n²(n²–1)=n²(n+1)(n–1)

Рассмотрим это выражения. Из чисел n, n-1, n+1 есть два чётных числа, поэтому данное выражение делится на 4.

Также из чисел n, n-1, n+1 есть одно число, которое делится на 3.

Т.к. мы имеем произведения этих чисел, то данное выражение делится на 12.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Проверим базовый случай, когда n = 1. Подставим n = 1 в выражение n^4 - n^2: 1^4 - 1^2 = 1 - 1 = 0.

Мы видим, что выражение равно 0, и следовательно, кратно 12.

Шаг 2: Предположим, что выражение n^4 - n^2 кратно 12 для некоторого целого числа k, то есть k^4 - k^2 делится на 12.

Шаг 3: Докажем, что если утверждение верно для k, то оно также верно и для k + 1.

Рассмотрим выражение (k + 1)^4 - (k + 1)^2: (k + 1)^4 - (k + 1)^2 = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 - (k^2 + 2k + 1) = k^4 + 4k^3 + 5k^2 + 2k = k^2 (k^2 + 4k^2 + 5) + 2k (1 + 2k).

Мы видим, что первое слагаемое содержит множитель k^2, а второе слагаемое содержит множитель 2k. В обоих случаях присутствует множитель k, что гарантирует кратность 12, так как один из множителей в каждом слагаемом является четным числом.

Таким образом, мы показали, что если выражение n^4 - n^2 кратно 12 для некоторого целого числа k, то оно также кратно 12 для числа k + 1.

По принципу математической индукции, это утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, выражение n^4 - n^2 действительно кратно 12 при любом целом n.