Question

Найдите сумму квадратов всех чисел x, для которых оба выражения x+1/x и 5x-x^2являются целыми. СРОЧНО

Answer 1

Ответ:

x + (1/x) - целое   при х= ±1

При этих значениях

6х - х²  тоже целое.

|1| + |-1| = 1 + 1 = 2

О т в е т. 2

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. Нам нужно найти все такие числа x, для которых и x + 1/x, и 5x - x^2 являются целыми числами.

Посмотрим на первое выражение: x + 1/x. Для того чтобы оно было целым числом, необходимо, чтобы дробь была вида a/b, где a и b - целые числа, и b делит a. То есть, x должно быть корнем квадратного уравнения вида x^2 - ax + 1 = 0, где a - целое число.

Теперь посмотрим на второе выражение: 5x - x^2. Мы видим, что оба коэффициента целые числа, поэтому вернемся к первому выражению x + 1/x. Мы знаем, что если x является корнем квадратного уравнения x^2 - ax + 1 = 0, то x не может быть равным 0, так как тогда второе слагаемое станет бесконечным. Это значит, что мы можем разделить оба выражения на x, и у нас получится:

1. x + 1/x = a
2. 5 - x = a

Решим второе уравнение относительно x: x = 5 - a.

Подставляем это значение x в первое уравнение: x + 1/x = a. Получаем:

5 - a + 1/(5 - a) = a

Умножим обе стороны уравнения на (5 - a), чтобы избавиться от дроби:

(5 - a)^2 - a(5 - a) + 1 = a(5 - a)

Раскроем скобки:

25 - 10a + a^2 - 5a + a^2 + 1 = 5a - a^2

Упростим:

2a^2 - 11a + 24 = 0

Теперь нам нужно найти целочисленные значения a, для которых это уравнение имеет целочисленные корни. Решив это уравнение, мы найдем a = 3 и a = 4.

Подставляем найденные значения a обратно в уравнение x = 5 - a:

Для a = 3: x = 2 Для a = 4: x = 1

Таким образом, два целых значения x, при которых оба выражения являются целыми, это x = 1 и x = 2.

Теперь осталось найти сумму квадратов этих чисел:

1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5

Итак, сумма квадратов всех чисел x, для которых оба выражения x + 1/x и 5x - x^2 являются целыми, равна 5.