Question

Найти частное:y"-4y'+3y=0, если у(0)=6, y'(0)=10;

Answer 1

Ответ:

у"-4*10+3*6=0

у"=40-18

у"=22

Answer 2

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка y'' - 4y' + 3y = 0 с начальными условиями y(0) = 6 и y'(0) = 10, мы можем воспользоваться характеристическим уравнением и методом вариации постоянных.

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид: r^2 - 4r + 3 = 0.

Решим это уравнение для нахождения корней r: (r - 3)(r - 1) = 0, r = 3 или r = 1.

Таким образом, общее решение соответствующего однородного уравнения будет иметь вид: y_h(t) = c1 * exp(3t) + c2 * exp(t),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь воспользуемся методом вариации постоянных, чтобы найти частное решение с учетом начальных условий.

Подставляем начальные условия: y(0) = c1 * exp(0) + c2 * exp(0) = c1 + c2 = 6, y'(0) = 3c1 * exp(0) + c2 * exp(0) = 3c1 + c2 = 10.

Решаем эту систему уравнений относительно c1 и c2:

1. c1 + c2 = 6,
2. 3c1 + c2 = 10.

Вычитаем второе уравнение из первого: -2c1 = -4, c1 = 2.

Подставляем значение c1 в первое уравнение: c1 + c2 = 6, 2 + c2 = 6, c2 = 4.

Итак, найденные значения постоянных: c1 = 2, c2 = 4.

Частное решение для данного дифференциального уравнения с учетом начальных условий: y_p(t) = 2 * exp(3t) + 4 * exp(t).

Итак, частное решение уравнения y'' - 4y' + 3y = 0 с начальными условиями y(0) = 6 и y'(0) = 10: y(t) = y_h(t) + y_p(t) = c1 * exp(3t) + c2 * exp(t) + 2 * exp(3t) + 4 * exp(t) = (c1 + 2) * exp(3t) + (c2 + 4) * exp(t).