Question

Найти частные решения дифференциальных уравнений1. А) у´´ -2у´ -8у =0, если у=5, у´ =14 при х=0

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1)2,9x при x =5; 12;

2)1,6x + y при x = 5; у = 5,6;

3)0,84х + 0,5у при х = 3; у = 4;

4)7,5х + 6,9у при х = 8; у =3;

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения мы можем использовать характеристическое уравнение.

Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид: $r^2 - 2r - 8 = 0.$

Решим это квадратное уравнение для нахождения корней $r_1$ и $r_2$: $r^2 - 2r - 8 = (r - 4)(r + 2) = 0.$

Отсюда получаем два корня: $r_1 = 4$ и $r_2 = -2$.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: $y(x) = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x},$

где $c_1$ и $c_2$ - произвольные постоянные.

Теперь мы можем использовать начальные условия, чтобы найти конкретные значения $c_1$ и $c_2$.

Известно, что при $x = 0$ имеется $y = 5$ и $y' = 14$. Подставляя это в общее решение, получаем систему уравнений: $c_1 + c_2 = 5, \quad 4c_1 - 2c_2 = 14.$

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения $c_1$ и $c_2$: $c_1 = 4, \quad c_2 = 1.$

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения с заданными начальными условиями равно: $y(x) = 4e^{4x} + e^{-2x}.$