Question

Помогите пожалуйста Найдите частные решения дифференциальных уравнений: a)(1+x²)dy-2x*(y+3)dx=0, если y0=-1 при x0=0; б) (1+y²)dx=xydy, если y0=1 при x0=2.​

Answer 1

Ответ:

а)

$></p> <p>б)</p> <p><img src=$

Пошаговое объяснение:

а) Сначала решаем уравнение

(1+x²)dy-2x*(y+3)dx=0

$></p> <p>Интегрируем  </p> <p></p> <p><img src=$

$ln(y+3)=ln(x^{2}+1)+lnC\\\\ln(y+3)=ln(C*(x^{2}+1))$

Экспоненцируем

$></p> <p>Решаем задачу Коши</p> <p> y0=-1 при x0=0</p> <p>__</p> <p><img src=$

Решение:

$></p> <p>б)</p> <p><img src=$

Для удобства пишем свободный  член  $lnC$

$lnx=\frac{1}{2} ln(y^{2}+1)+lnC\\lnx=\ln(\sqrt{y^{2}+1})+lnC\\lnx=ln(C*\sqrt{y^{2}+1})$

Экспоненцируем

$x=C*\sqrt{y^{2}+1}$

Решаем задачу Коши

y0=1 при x0=2.​

$2=C*\sqrt{1^{2}+1}\\2=C*\sqrt{2}\\C=\frac{2}{\sqrt{2}} \\C=\sqrt{2}$

Решение:

$x=\sqrt{2} *\sqrt{y^{2}+1}$

Answer 2

a) Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения, мы будем использовать метод разделения переменных.

Исходное уравнение: (1+x²)dy - 2x(y+3)dx = 0

Разделим оба части уравнения на (1+x²):

dy/(y+3) = 2xdx/(1+x²)

Проинтегрируем обе части уравнения:

∫(dy/(y+3)) = ∫(2xdx/(1+x²))

ln|y+3| = ln|1+x²| + C1

где C1 - постоянная интегрирования.

Применяя свойство логарифма ln(a) - ln(b) = ln(a/b), получаем:

ln|y+3| = ln|1+x²| + C1 ln|y+3| - ln|1+x²| = C1

Теперь возьмем экспоненту от обеих частей уравнения:

|y+3|/(1+x²) = e^C1

Сократим модуль:

(y+3)/(1+x²) = ±e^C1

Обозначим ±e^C1 как C2:

(y+3)/(1+x²) = C2

Теперь найдем значение C2, используя начальные условия y0 = -1 при x0 = 0:

(-1+3)/(1+0²) = C2 2/1 = C2 C2 = 2

Подставим значение C2 в уравнение:

(y+3)/(1+x²) = 2

Исходное дифференциальное уравнение имеет частное решение (y+3)/(1+x²) = 2 при y0 = -1 и x0 = 0.

б) Также для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения, мы будем использовать метод разделения переменных.

Исходное уравнение: (1+y²)dx = xydy

Разделим оба части уравнения на xy(1+y²):

dx/(x) = dy/(y(1+y²))

Проинтегрируем обе части уравнения:

∫(dx/(x)) = ∫(dy/(y(1+y²)))

ln|x| = ln|y| - ln|1+y²| + C3

где C3 - постоянная интегрирования.

Возьмем экспоненту от обеих частей уравнения:

|x| = |y|/(1+y²) * e^C3

Сократим модуль:

x = ±y/(1+y²) * e^C3

Обозначим ±e^C3 как C4:

x = C4 * y/(1+y²)

Теперь найдем значение C4, используя начальные условия y0 = 1 при x0 = 2:

2 = C4 * 1/(1+1²) 2 = C4 * 1/2 C4 = 4

Подставим значение C4 в уравнение:

x = 4y/(1+y²)

Исходное дифференциальное уравнение имеет частное решение x = 4y/(1+y²) при y0 = 1 и x0 = 2.