Question

1)Из 100 опрошенных студентов три языка изучают 5 студентов, немецкий и русский – 10; английский и немецкий – 8; русский и английский – 20; немецкий 30, русский – 28, английский – 50. а) Сколько студентов не изучают ни один язык? б) Сколько студентов изучают только один язык? в) Сколько студентов изучают только два языка из этих трех?

Answer 1

Основная формула: |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|.

Теперь решение задачи.

Пусть Ω - множество опрошенных студентов.

А - множество студентов из опрошенных, которые изучают английский,

B - множество студентов из опрошенных, которые изучают немецкий,

C - множество студентов из опрошенных, которые изучают русский.

Понятно, что A⊂Ω, B⊂Ω, C⊂Ω.

По условию задачи:

|Ω| = 100,

|A∩B∩C| = 5

|B∩C| = 10

|A∩B| = 8

|A∩C| = 20

|B| = 30

|C| = 28

|A| = 50.

a) |Ω\ A∪B∪C| = |Ω| - |A∪B∪C|.

|A∪B∪C| = |A| + |B∪C| - |A∩(B∪C)| = |A| + |B| + |C| - |B∩C| - |(A∩B)∪(A∩C)| =

= |A| + |B| + |C| - |B∩C| - ( |A∩B| + |A∩C| - |A∩B∩A∩C|) =

= |A| + |B| + |C| - |B∩C| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C| =

= 50 + 30 + 28 - 10 - 8 - 20 + 5 = 108 - 38 + 5 = 70 + 5 = 75.

|Ω\ A∪B∪C| = 100 - 75 = 25.

б)

Искомое количество = |A\ (B∪C)| + |B\ (A∪C)| + |C\ (A∪B)|,

|A\ (B∪C)| = |A\ (A∩(B∪C))| = |A| - |A∩(B∪C)| = |A| - |(A∩B)∪(A∩C)| =

= |A| - (|A∩B| + |A∩C| - |A∩B∩A∩C|) = |A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C| =

= 50 - 8 - 20 + 5 = 22+5 = 27.

Аналогично с двумя другими.

|B\ (A∪C)| = |B| - |B∩A| - |B∩C| + |A∩B∩C| = 30 - 8 - 10 + 5 = 12+5 = 17.

|C\ (A∪B)| = |C| - |C∩A| -|C∩B| + |A∩B∩C| = 28 - 20 - 10 + 5 = -2 + 5 = 3.

Искомое количество = 27 + 17 + 3 = 47.

в)

Искомое количество = |(A∩B)\C| + |(B∩C)\A| + |(A∩C)\B|.

|(A∩B)\C| = |(A∩B)\(A∩B∩C)| = |A∩B| - |A∩B∩C| = 8 - 5 = 3.

Аналогично с двумя другими:

|(B∩C)\A| = |B∩C| - |A∩B∩C| = 10 - 5 = 5.

|(A∩C)\B| = |A∩C| - |A∩B∩C| = 20 - 5 = 15.

Искомое количество = 3+5+15 = 23.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу и найдем ответы на вопросы:

Пусть:

• $A$ - количество студентов изучающих английский,
• $B$ - количество студентов изучающих немецкий,
• $C$ - количество студентов изучающих русский,
• $AB$ - количество студентов изучающих английский и немецкий,
• $AC$ - количество студентов изучающих английский и русский,
• $BC$ - количество студентов изучающих немецкий и русский,
• $ABC$ - количество студентов изучающих все три языка.

Исходя из предоставленных данных:

$$\begin{align*} A &= 50 \\ B &= 30 \\ C &= 28 \\ AB &= 8 \\ AC &= 20 \\ BC &= 10 \\ ABC &= 5 \\ \end{align*}$$

Теперь мы можем ответить на вопросы:

а) Сколько студентов не изучают ни один язык?

Количество студентов, не изучающих ни один язык, можно найти как разность общего числа студентов и суммы студентов, изучающих хотя бы один язык:

$$\text{Не изучают язык} = 100 - (A + B + C - AB - AC - BC + ABC) = 100 - (50 + 30 + 28 - 8 - 20 - 10 + 5) = 15$$

Таким образом, 15 студентов не изучают ни один язык.

б) Сколько студентов изучают только один язык?

Количество студентов, изучающих только один язык, равно сумме студентов, изучающих каждый язык отдельно, минус количество студентов, изучающих два и более языка:

$$\text{Изучают один язык} = A + B + C - (AB + AC + BC) = 50 + 30 + 28 - (8 + 20 + 10) = 70$$

Таким образом, 70 студентов изучают только один язык.

в) Сколько студентов изучают только два языка из этих трех?

Количество студентов, изучающих только два языка, равно сумме студентов, изучающих два языка каждой возможной комбинации, минус количество студентов, изучающих все три языка:

$$\text{Изучают два языка} = AB + AC + BC - 2 \cdot ABC = 8 + 20 + 10 - 2 \cdot 5 = 28$$

Таким образом, 28 студентов изучают только два языка из этих трех.