Question

Опрос 100 студентов дал следующие результаты о количестве студентов, изучающих различные иностранные языки: испанский – 28; немецкий – 30; французский – 42; испанский и немецкий – 8; испанский и французский – 10; немецкий и французский – 5; все три языка – 3 а) Сколько студентов не изучает ни одного языка? б) Сколько студентов изучает один французский язык? б) Сколько студентов изучает немецкий язык в том и только том случае, если они изучают французский язык?

Answer 1

а - 0, б - 27 (42-10-5), с - 5

Answer 2

Давайте разберемся с этими данными.

Обозначим:

- \( I \) - количество студентов, изучающих испанский, - \( G \) - количество студентов, изучающих немецкий, - \( F \) - количество студентов, изучающих французский.

Также у нас есть пересечения между группами:

- \( I \cap G \) - количество студентов, изучающих и испанский, и немецкий, - \( I \cap F \) - количество студентов, изучающих и испанский, и французский, - \( G \cap F \) - количество студентов, изучающих и немецкий, и французский.

Также у нас есть те, кто изучает все три языка, обозначим это как \( I \cap G \cap F \).

Теперь мы можем использовать формулу включения-исключения для нахождения общего числа студентов, изучающих хотя бы один язык:

\[ |I \cup G \cup F| = |I| + |G| + |F| - |I \cap G| - |I \cap F| - |G \cap F| + |I \cap G \cap F| \]

Подставим данные из опроса:

\[ |I \cup G \cup F| = 28 + 30 + 42 - 8 - 10 - 5 + 3 = 80 \]

Теперь у нас есть общее количество студентов, изучающих хотя бы один язык. Теперь можем ответить на ваши вопросы:

а) Сколько студентов не изучает ни одного языка? \[ \text{Количество студентов без языка} = 100 - |I \cup G \cup F| = 20 \]

б) Сколько студентов изучает один французский язык? \[ \text{Количество студентов с французским} = |F| - |I \cap F| - |G \cap F| + |I \cap G \cap F| = 42 - 10 - 5 + 3 = 30 \]

в) Сколько студентов изучает немецкий язык в том и только том случае, если они изучают французский язык? \[ \text{Количество студентов с немецким и французским} = |G \cap F| - |I \cap G \cap F| = 5 - 3 = 2 \]