Question

Составить уравнение плоскости по точке М(3;0;-1) и двум неколлинеарным векторам p1 ( 2;1;-3) p2( 0;-2;6)

Answer 1

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, параллельно двум другим векторам.               Смешанное произведение этих векторов равно нулю:

  Точка M   Вектор p1  Вектор p2    

.   x1 y1 z1  x2 y2 z2  x3 y3 z3  

  3 0 -1  2 1 -3  0 -2 6  

           

x - xo      y - yo       z - zo       x - xo      y - yo  

2           1           -3              2          1  

0         -2          6             0          -2  =          

= 6*(x - x(M)) + 0*(y - yo(M)) +  -4*(z - z(M)) -

-12*(y - yo) +  -6*(x - xo) +  0*(z - zo) =        

= 0*x - 12*y + -4*z - 4 = 0   или, сократив на (-4), получаем

ответ: 3y + z + 1 = 0.

Answer 2

Чтобы составить уравнение плоскости по заданным точке и двум неколлинеарным векторам, мы можем использовать общий вид уравнения плоскости:

$Ax + By + Cz + D = 0.$

Вектор нормали к плоскости можно найти как векторное произведение векторов $p_1$ и $p_2$:

$n = p_1 \times p_2.$

Сначала найдем вектор нормали к плоскости, а затем подставим координаты точки $M$ для определения конкретных значений $A$, $B$, $C$ и $D$.

Дано: $M(3, 0, -1)$, $p_1(2, 1, -3)$, $p_2(0, -2, 6)$.

Вычислим вектор нормали:

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 0 & -2 & 6 \end{vmatrix}\] \[n = (6 + 6)\mathbf{i} - (0 + 0)\mathbf{j} + (-4 - 0)\mathbf{k} = 12\mathbf{i} - 4\mathbf{k}.\] Теперь подставим координаты точки \(M\) и вектор нормали \(n\) в уравнение плоскости: \[12x - 4z + D = 0.\] Чтобы найти конкретное значение \(D\), подставим координаты точки \(M\) в уравнение: \[12 \cdot 3 - 4 \cdot (-1) + D = 0,\] \[36 + 4 + D = 0,\] \[D = -40.\] Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку \(M(3, 0, -1)\) и заданную векторами \(p_1\) и \(p_2\), будет: \[12x - 4z - 40 = 0.\]