Question

Найти область определения функции у=√(х-√(х+2))

Answer 1

подкоренные выражения ≥ 0

а если более пристально посмотреть , то надо решить иррациональное неравенство

√A ≤ B

это аналогично системе

A ≥ 0

B ≥ 0

A ≤ B²

----

х-√(х+2) ≥ 0

х ≥ √(х+2)

----

x ≥ 0

x + 2 ≥ 0

x²  ≥ x + 2

-----

x ≥ 0

x  ≥ -2

x² - x - 2 = (x - 2)(x + 1) ≥ 0

++++++[-1] ----------------- [2] ++++++++++

x ∈ (-∞,1] U [2,+∞)

все пересекаем

ответ x  ∈ [2,+∞)

Answer 2

Чтобы найти область определения функции, нужно учесть ограничения, которые могут возникнуть из-за использования корней и деления. В данном случае у нас есть два корня: √(х-√(х+2)) и √(х+2). Давайте разберемся с обоими корнями по отдельности:

1. Корень √(х+2): Здесь нет ограничений, так как корень определен для любого вещественного значения аргумента х.

2. Корень √(х-√(х+2)): Чтобы это значение было действительным, значение подкоренного выражения (х-√(х+2)) должно быть неотрицательным. Это связано с тем, что нельзя извлекать корень из отрицательного числа в вещественных числах.

Таким образом, для области определения функции учитываем условие: х - √(х+2) ≥ 0

Давайте решим это неравенство:

1. Добавляем √(х+2) к обеим сторонам: х ≥ √(х+2)

2. Теперь возводим обе стороны в квадрат (для сохранения неравенства при умножении на отрицательное число): х^2 ≥ х+2

3. Переносим все в одну сторону: х^2 - х - 2 ≥ 0

4. Факторизуем левую сторону: (х-2)(х+1) ≥ 0

Таким образом, мы получили два интервала, в которых это неравенство выполняется:

• ∞ < х ≤ -1
• х ≥ 2

Итак, область определения функции y = √(х-√(х+2)) включает в себя интервал (-∞, -1] объединенный с [2, +∞).