Question

Найти точки перегиба функции y=x/x^2-1

Answer 1

Ответ:

$y=\dfrac{x}{x^2-1}\ \ ,\ \ \ ODZ:\ \ x\ne \pm 1\ ,\\\\\\y'=\dfrac{1\cdot (x^2-1)-x\cdot 2x}{(x^2-1)^2}=\dfrac{-x^2-1}{(x^2-1)^2}=-\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}\\\\\\y''=-\dfrac{2x(x^2-1)^2-(x^2+1)\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2-1)^4}=\\\\\\=-\dfrac{2x\, (x^2-1)\cdot \Big((x^2-1)-2(x^2+1)\Big)}{(x^2-1)^4}=-\dfrac{2x\, (-x^2-3)}{(x^2-1)^3}=\dfrac{2x\, (x^2+3)}{(x^2-1)^3}=0\\\\\\\\znaki\ y'':\ \ \ ---(-1)+++[\, 0\, ]----(1)+++$

$x=0$  - абсцисса точки перегиба, при переходе через точку О(0,0) функция меняет вогнутость на выпуклость, т.к. знак у'' меняется с (+) на (-) .

Answer 2

Давайте найдем точки перегиба функции $y = \frac{x}{{x^2} - 1}$, используя производные второго порядка.

1. Начнем с вычисления первой производной: $y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{{x^2} - 1} \right)$.

   Применим правило дифференцирования дроби и упростим выражение: $y' = \frac{(x^2 - 1) - x \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2 - 1 - 2x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2}$.

2. Теперь найдем вторую производную: $y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} \right)$.

   Вновь применим правило дифференцирования дроби и упростим выражение: $y'' = \frac{(-2x)(x^2 - 1)^2 - (-x^2 - 1) \cdot 2(x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^4}$.

   Упростим числитель: $y'' = \frac{-2x(x^2 - 1)^2 + 4x(x^2 - 1)^2}{(x^2 - 1)^4} = \frac{2x(x^2 - 1)^2}{(x^2 - 1)^4} = \frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$.

3. Теперь найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: $y'' = \frac{2x}{(x^2 - 1)^2} = 0$.

   Это уравнение не имеет действительных корней, так как числитель не может быть равен нулю.

Итак, у функции $y = \frac{x}{{x^2} - 1}$ нет точек перегиба, так как вторая производная не обращается в ноль ни в одной точке на действительной числовой оси.