Question

Помогите решить дифф. Уравнение 3уу'у''=1+(у')^3

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Там можно дальше попробовать "извлечь" у, но боюсь, слишком страшная функция получится :)

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит как уравнение третьего порядка относительно функции y(x) и её производных. Давайте попробуем его решить.

Обозначим y' как производную y по x, y'' как вторую производную, и y''' как третью производную. Тогда данное уравнение можно записать следующим образом:

$3yy'y'' = 1 + (y')^3.$

Давайте сделаем замену: $v = y'$. Тогда $y'' = v'$, а $y''' = v''$. Подставив это в уравнение, получим:

$3yv v' = 1 + v^3.$

Это уравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно $v(x)$:

$3yv v' = 1 + v^3.$

Данное уравнение можно решить методами разделения переменных. Давайте разделим обе стороны на $v^3$:

$3y \frac{v'}{v^2} = \frac{1}{v^3} + 1.$

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения по $x$:

$3y \int \frac{v'}{v^2} \, dx = \int \left(\frac{1}{v^3} + 1\right) \, dx.$

$3y \left(-\frac{1}{v}\right) = -\frac{1}{2v^2} + x + C,$

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Теперь выразим $v$ через $y$ и $y'$:

$-\frac{3y}{v} = -\frac{1}{2(v^3)} + x + C.$

$v^3 = \frac{6y}{2x + 3y + 2C}.$

Теперь вспомним, что мы ввели замену $v = y'$. Интегрируя это выражение, получим:

$\int v^3 \, dx = \int \frac{6y}{2x + 3y + 2C} \, dx.$

$y^4 = 6 \int \frac{y}{2x + 3y + 2C} \, dx + D,$

где $D$ – ещё одна произвольная постоянная.

Это окончательное решение дифференциального уравнения.