Question

В США всего у 3 % населения среди предков были коренные индейцы, что не обязательно отражается на внешнем виде. Есть ДНК тест, выявляющий наличие таких предков. У потомка индейцев тест с вероятностью 98 % подтвердит наличие таких предков. А у того, в ком индейской крови нет, тест с вероятностью 92 % покажет отсутствие таких предков. Вильям сдал такой тест. И тот показал, что Вильям — потомок индейцев. С какой вероятностью Вильям действительно является таким потомком?

Answer 1

С вероятностью 98 %, так как только люди с вероятностью 98% являются потомками индейцев

Answer 2

Давайте воспользуемся теорией условной вероятности для решения этой задачи.

Обозначим:

• A - событие "Вильям является потомком индейцев".
• B - событие "Тест показал, что Вильям - потомок индейцев".

Мы хотим найти вероятность P(A|B) - вероятность того, что Вильям действительно является потомком индейцев, при условии, что тест показал, что он является таковым.

Известные данные:

• P(A) = 0.03 (вероятность, что случайный человек в США является потомком индейцев).
• P(¬A) = 1 - P(A) = 0.97 (вероятность, что человек не является потомком индейцев).
• P(B|A) = 0.98 (вероятность, что тест покажет, что потомок индейцев действительно является таковым).
• P(B|¬A) = 1 - 0.92 = 0.08 (вероятность, что тест покажет, что не потомок индейцев действительно не является таковым).

Теперь мы можем воспользоваться формулой условной вероятности: $P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + P(¬A) \cdot P(B|¬A)}$

Подставляем известные значения: $P(A|B) = \frac{0.03 \cdot 0.98}{0.03 \cdot 0.98 + 0.97 \cdot 0.08} \approx 0.7945$

Итак, вероятность того, что Вильям действительно является потомком индейцев, при условии, что тест показал, что он является таковым, составляет около 0.7945 или около 79.45%.