Question

2y'=y^3/x^2 при условии y(-1)=1

Answer 1

Ответ:

$x=\frac{y^{2}}{Cy^{2}+1}, \quad C-const; \quad x=\frac{y^{2}}{1-2y^{2}};$

Пошаговое объяснение:

$2y'=\frac{y^{3}}{x^{2}};$

$2\frac{dy}{dx}=\frac{y^{3}}{x^{2}};$

$2\frac{dy}{y^{3}dx}=\frac{1}{x^{2}};$

$2\frac{dy}{y^{3}}=\frac{dx}{x^{2}};$

$2\int\limits {\frac{1}{y^{3}}} \, dy =\int\limits {\frac{1}{x^{2}}} \, dx;$

$2\int\limits {y^{-3}} \, dy =\int\limits {x^{-2}} \, dx;$

$2 \cdot \frac{y^{-3+1}}{-3+1}=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C, \quad C-const;$

$2 \cdot \frac{y^{-2}}{-2}=\frac{x^{-1}}{-1}+C, \quad C-const;$

$-y^{-2}=-x^{-1}+C, \quad C-const;$

$y^{-2}=x^{-1}-C, \quad C-const;$

$\frac{1}{x}-C=\frac{1}{y^{2}}, \quad C-const;$

$\frac{1}{x}=C+\frac{1}{y^{2}}, \quad C-const;$

$\frac{1}{x}=\frac{Cy^{2}+1}{y^{2}}, \quad C-const;$

$\frac{x}{1}=\frac{y^{2}}{Cy^{2}+1}, \quad C-const;$

$x=\frac{y^{2}}{Cy^{2}+1}, \quad C-const;$

$y(-1)=1 \Rightarrow x=-1, \quad y=1;$

$-1=\frac{1^{2}}{C \cdot 1^{2}+1};$

$-1=\frac{1}{C+1};$

$C+1=\frac{1}{-1};$

$C+1=-1;$

$C=-1-1;$

$C=-2;$

$x=\frac{y^{2}}{1-2y^{2}};$

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. У вас дано уравнение:

$2y' = \frac{y^3}{x^2},$

с начальным условием $y(-1) = 1$.

Для начала, давайте разделим обе стороны уравнения на $2y^3$ и переместим все члены в одну сторону:

$\frac{y'}{y^3} = \frac{1}{2x^2}.$

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

$\int \frac{1}{y^3} dy = \int \frac{1}{2x^2} dx.$

Левую часть можно интегрировать, используя замену переменной $z = y^{-2}$, тогда $dz = -2y^{-3}dy$:

$-\frac{1}{2} \int z dz = -\frac{1}{2} \cdot \frac{z^2}{2} + C_1 = -\frac{1}{4y^2} + C_1,$

где $C_1$ - произвольная константа интегрирования.

Правая часть также интегрируется:

$\int \frac{1}{2x^2} dx = -\frac{1}{2x} + C_2,$

где $C_2$ - еще одна константа интегрирования.

Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

$-\frac{1}{4y^2} + C_1 = -\frac{1}{2x} + C_2.$

Мы также знаем начальное условие $y(-1) = 1$, которое можно использовать, чтобы найти значения констант $C_1$ и $C_2$:

$-\frac{1}{4} + C_1 = \frac{1}{2} + C_2.$

Отсюда можно найти значение $C_2$:

$C_2 = C_1 - \frac{3}{4}.$

Теперь, подставляя значение $C_2$ обратно в уравнение, получаем:

$-\frac{1}{4y^2} + C_1 = -\frac{1}{2x} + C_1 - \frac{3}{4}.$

Сокращая $C_1$ с обеих сторон уравнения и перегруппировывая, получаем:

$-\frac{1}{4y^2} = -\frac{1}{2x} - \frac{3}{4}.$

Теперь избавимся от отрицательных знаков и найдем $y$ выраженное через $x$:

$\frac{1}{4y^2} = \frac{1}{2x} + \frac{3}{4},$