Question

Решить неопределенный интеграл (3х+4)*е^(3х) Не могу разобраться, помогите пожалуйста. Заранее спасибо !

Answer 1

$(3x + 4) \times e {}^{(3x)} \\ 3xe {}^{3x} + 4e {}^{3x}$

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\int\limits {(3x+4)e^{3x} } \, dx =$

сделаем замену

$u=3x+4 \\ du=3dx\\dv=e^{3x} dx\\v=\frac{e^{3x}}{3}$

применим формула интегрирования по частям

( смотри продолжение в документе )

Answer 3

Для решения данного неопределенного интеграла можно использовать метод интегрирования по частям (по формуле интегрирования произведения двух функций). Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это две функции, которые мы выбираем для интегрирования по частям, а du и v - их дифференциалы и интегралы соответственно.

В вашем случае, давайте выберем u = (3x + 4) и dv = e^(3x)dx. Тогда:

du = (d/dx)(3x + 4)dx = 3dx, v = ∫e^(3x)dx.

Теперь мы можем вычислить du и v, а затем применить формулу интегрирования по частям:

∫(3x + 4)e^(3x)dx = uv - ∫vdu.

1. u*v: u = (3x + 4) v = ∫e^(3x)dx = (1/3)e^(3x).

Теперь мы можем вычислить u*v:

u*v = (3x + 4) * (1/3)e^(3x) = (1/3)(3x + 4)e^(3x) = (x + 4/3)e^(3x).

2. ∫v*du: Мы уже знаем, что du = 3dx и v = (1/3)e^(3x), поэтому:

∫v*du = (1/3)e^(3x) * 3dx = e^(3x)dx.

Теперь мы можем подставить результаты обоих шагов обратно в формулу интегрирования по частям:

∫(3x + 4)e^(3x)dx = uv - ∫vdu = (x + 4/3)e^(3x) - ∫e^(3x)dx.

Теперь нам нужно вычислить интеграл ∫e^(3x)dx, который представляет собой простой интеграл:

∫e^(3x)dx = (1/3)e^(3x) + C,

где C - константа интегрирования.

Теперь мы можем подставить это обратно в нашу исходную формулу:

∫(3x + 4)e^(3x)dx = (x + 4/3)e^(3x) - (1/3)e^(3x) + C.

Таким образом, неопределенный интеграл (3x + 4)e^(3x)dx равен:

(x + 4/3)e^(3x) - (1/3)e^(3x) + C,

где C - произвольная константа.