Question

Дан треугольник МРК, М(-3;-2), Р(1;4), К(2;-1). Найти у градусах величину угла М

Answer 1

Ответ:

∠M=45°

Пошаговое объяснение:

Определим угол в вершине треугольника MPK как угол между векторами MP и MK:

MP = OP - OM = (1; 4) - (-3 ;-2) = (1-(-3); 4-(-2)) = (4; 6)

MK = OK - OM = (2; -1) - (-3 ;-2) = (2-(-3); -1-(-2)) = (5; 1).

Скалярное произведение векторов MP(x₁; y₁) и MK(x₂; y₂) можно определить по формулам:

MP·MK=x₁·x₂+y₁·y₂ и MP·MK=|MP|·|MK|·cosα,

где |MP| и |MK| длины векторов MP и MK, α=∠M - угол между векторами MP и MK.

Определяем длину векторов MP и MK:

$\tt \displaystyle |\textbf{MP}|=\sqrt{x_{1}^2+y_{1}^2 } =\sqrt{4^2+6^2 } =\sqrt{16+36} =\sqrt{52};\\\\|\textbf{MK}|=\sqrt{x_{2}^2+y_{2}^2 } =\sqrt{5^2+1^2 } =\sqrt{25+1} =\sqrt{26}.$

Скалярное произведение векторов MP(x₁; y₁) и MK(x₂; y₂) определяем через координаты:

MP·MK=4·5+6·1=26.

Тогда косинус угла между векторами MP и MK равен:

$\tt \displaystyle cos\alpha = \frac{\textbf{MP} \cdot \textbf{MK}}{|\textbf{MP} |\cdot |\textbf{MK}|} = \frac{26}{\sqrt{52} \cdot \sqrt{26} }=\frac{26}{\sqrt{2} \cdot 26}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Так как

$\tt \displaystyle cos45^0 =\frac{\sqrt{2}}{2},$

то ∠M=45°.

Answer 2

Дано : ΔMPK, M(-3;-2), P(1;4), K(2;-1)

Найти : ∠M

Решение :

Угол треугольника можно найти через скалярное произведение векторов, если рассматривать стороны как векторы.

$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \cos \angle M\\\\\cos \angle M=\dfrac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}=\dfrac{a_xb_x+a_yb_y}{|\vec a|\cdot |\vec b|}}$

$\vec a=\overrightarrow{MP}\\a_x=x_P-x_M=1-(-3)=4\\a_y=y_P-y_M=4-(-2)=6\\\\|\vec a|=\big|\overrightarrow{MP}\big|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}$

$\vec b=\overrightarrow{MK}\\b_x=x_K-x_M=2-(-3)=5\\b_y=y_K-y_M=-1-(-2)=1\\\\|\vec b|=\big|\overrightarrow{MK}\big|=\sqrt{b_x^2+b_y^2}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$

$\cos \angle M=\dfrac{a_xb_x+a_yb_y}{|\vec a|\cdot |\vec b|}=\dfrac{4\cdot 5+6\cdot 1}{\sqrt{52}\cdot \sqrt{26}}=\dfrac{26}{\sqrt2\cdot \sqrt{26}\cdot \sqrt{26}}=\\\\\\~~~~=\dfrac{26}{\sqrt2\cdot 26}=\dfrac1{\sqrt 2}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \boxed{\boldsymbol{\angle M=45\textdegree}}$

Ответ : 45°

Answer 3

Чтобы найти величину угла М треугольника MРК, можно воспользоваться формулой для нахождения угла между двумя векторами в декартовой системе координат:

cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|),

где θ - угол между векторами AB и BC, AB и BC - векторы, соединяющие точки M и P, а P и K соответственно, и |AB| и |BC| - длины этих векторов.

Для начала найдем векторы AB и BC:

AB = PB - PA = (1 - (-3), 4 - (-2)) = (4, 6), BC = KC - KB = (2 - 1, -1 - 4) = (1, -5).

Теперь найдем длины этих векторов:

|AB| = √(4^2 + 6^2) = √(16 + 36) = √52, |BC| = √(1^2 + (-5)^2) = √(1 + 25) = √26.

Теперь подставим все значения в формулу для нахождения косинуса угла θ:

cos(θ) = ((4, 6) · (1, -5)) / (√52 * √26),

cos(θ) = (4 * 1 + 6 * (-5)) / (√52 * √26),

cos(θ) = (4 - 30) / (√52 * √26),

cos(θ) = (-26) / (√52 * √26).

Теперь найдем значение косинуса θ:

cos(θ) = -26 / (√(52 * 26)),

cos(θ) = -26 / (√(1352)).

Теперь найдем значение угла θ, используя обратную функцию косинуса (арккосинус):

θ = arccos(-26 / √(1352)).

Вычислим значение угла θ:

θ ≈ 107.86 градусов (округлено до двух десятичных знаков).

Таким образом, величина угла М треугольника MРК приближенно равна 107.86 градусов.