Question

Центр окружности, перпендикулярной катетам прямоугольного треугольника, находится в гипотенузе. Каков радиус круга? Если сумма катетов в 7 раз меньше радиуса, а площадь треугольника равна 56.

Answer 1

Ответ:

5

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. У нас есть прямоугольный треугольник, и мы знаем, что центр окружности, перпендикулярной катетам, находится на гипотенузе. Давайте обозначим следующие величины:

1. Радиус круга - r.
2. Длина катета A - a.
3. Длина катета B - b.
4. Длина гипотенузы C - c.

Из условия известно, что сумма катетов в 7 раз меньше радиуса, то есть:

a + b = 7r

Также известно, что площадь треугольника равна 56. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как половину произведения длин его катетов:

S = (1/2)ab = 56

Теперь мы знаем два уравнения:

1. a + b = 7r
2. ab = 112

Мы можем решить эту систему уравнений. Давайте сначала решим уравнение (2) относительно одной из переменных, например, a:

a = 112/b

Теперь подставим это выражение в уравнение (1):

112/b + b = 7r

Далее, умножим обе стороны на b, чтобы избавиться от дроби:

112 + b^2 = 7rb

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной (b), которое можно решить. Приведем его к квадратному виду:

b^2 - 7rb + 112 = 0

Теперь мы можем воспользоваться квадратным уравнением для нахождения значения b:

D = (-7r)^2 - 4 * 1 * 112

D = 49r^2 - 448

Теперь используем формулу дискриминанта для квадратного уравнения, чтобы найти b:

D > 0, так как существует решение этого уравнения.

b = [7r ± √(49r^2 - 448)] / 2

b = (7r ± √(49r^2 - 448)) / 2

Теперь, когда у нас есть значение b, мы можем найти значение a, используя уравнение (2):

a = 112 / b

Таким образом, мы можем найти длины катетов a и b. После этого можно найти длину гипотенузы c, так как мы знаем, что центр окружности, перпендикулярной катетам, находится на гипотенузе. А радиус r будет равен половине длины гипотенузы c.