Question

Довести що функція F(x) — це первісна f(x): a) f(x)=12x³+5 F(x)=3x⁴+5x-4 б) f(x)=ln x+1 F(x)=xlu x в) f(x)=x/√x²+4 F(x)=√x²+4 /-это дробь

Answer 1

Пошаговое объяснение:

F(x) - Первообразная для х, если F'(x) = f(x)

а)

F'(x) = (3x⁴ + 5x - 4)' = 12x³ + 5 = f(x)

б)

F'(x) = x'ln x + x(ln x)' = ln x + x * 1/x = ln x + 1 = f(x)

в)

F'(x) = (√(x²+4))' = (2x)/(2√(x²+4)) = x/(√x²+4) = f(x)

Answer 2

Для доведення того, що функція F(x) є первісною функції f(x), потрібно перевірити, чи є похідна функції F(x) рівною f(x).

a) f(x) = 12x³ + 5 F(x) = 3x⁴ + 5x - 4

Давайте знайдемо похідну функції F(x): F'(x) = d/dx (3x⁴ + 5x - 4) = 12x³ + 5

Як бачимо, похідна F(x) (F'(x)) дорівнює f(x). Отже, функція F(x) є первісною функції f(x).

б) f(x) = ln(x + 1) F(x) = xln(x + 1)

Знайдемо похідну функції F(x): F'(x) = d/dx [xln(x + 1)]

Для знаходження похідної цієї функції потрібно використовувати правило добування логарифму та правило добування добутку:

F'(x) = ln(x + 1) + x * (1/(x + 1))

Поділимо другий доданок на (x + 1):

F'(x) = ln(x + 1) + x/(x + 1)

Здається, що F'(x) не дорівнює f(x), тобто функція F(x) не є первісною функції f(x).

в) f(x) = x/√(x² + 4) F(x) = √(x² + 4)

Знайдемо похідну функції F(x): F'(x) = d/dx [√(x² + 4)]

Використовуючи правило добування кореня, отримаємо:

F'(x) = (1/2) * (x² + 4)^(-1/2) * 2x = x / √(x² + 4)

Отже, F'(x) дорівнює f(x). Отже, функція F(x) є первісною функції f(x).

Отже, ми довели, що функція F(x) є первісною для f(x) в пунктах a) і в) і не є первісною для f(x) в пункті б).