Question

Найдите дифференциалы функции^ ln^3(cos3x)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$y=ln^3(cos3x)\\\\y'=3ln^2(cos3x)*(ln(cos3x))'=3ln^2(cos3x)*\frac{1}{cos3x}*(cos3x)'= 3ln^2(cos3x)*\frac{1}{cos3x}*(-sin3x)*(3x)'=3ln^2(cos3x)*\frac{1}{cos3x}*(-sin3x)*3=-9ln^2(cos3x)*tg3x\\dy=y'dx\\dy=-9ln^2(cos3x)*tg3xdx$

Answer 2

Чтобы найти дифференциал функции $f(x) = \ln^3(\cos(3x))$, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule).

Правило дифференцирования сложной функции гласит:

$$\frac{d}{dx}\left[g(f(x))\right] = g'(f(x)) \cdot f'(x),$$

где $g(u)$ - внешняя функция, $f(x)$ - внутренняя функция, $g'(u)$ - производная внешней функции, а $f'(x)$ - производная внутренней функции.

В данном случае внешняя функция $g(u)$ это $\ln^3(u)$, а внутренняя функция $f(x)$ это $\cos(3x)$.

Сначала найдем производные этих функций:

1. Производная внешней функции $g(u) = \ln^3(u)$:

   $$g'(u) = 3\ln^2(u) \cdot \frac{1}{u} = \frac{3\ln^2(u)}{u}.$$

2. Производная внутренней функции $f(x) = \cos(3x)$:

   $$f'(x) = -3\sin(3x).$$

Теперь мы можем применить правило дифференцирования сложной функции:

$$\frac{d}{dx}\left[\ln^3(\cos(3x))\right] = \frac{3\ln^2(\cos(3x))}{\cos(3x)} \cdot (-3\sin(3x)).$$

Упростим это выражение:

$$\frac{d}{dx}\left[\ln^3(\cos(3x))\right] = -9\sin(3x)\ln^2(\cos(3x))/\cos(3x).$$

Таким образом, дифференциал функции $f(x) = \ln^3(\cos(3x))$ равен:

$$df = -9\sin(3x)\ln^2(\cos(3x))/\cos(3x) \, dx.$$