Question

есть 90 карточек - 10 с цифрой 1, 10 с цифрой 2,..., 10 с цифрой 9. Из этих карточек составили 2 числа, одно из которых в три раза больше другого. Докажите, что одно из этих чисел можно разложить на четыре не обязательно различных натуральных множителя, больших единицы( обязательно объяснение)​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Предположим, что это не так. Тогда оба числа являются максимум третьей степенью какого-то натурального числа. Возмём максимальное возможное (9*9*9)*(9*9*9)=531441

Но по условию были использованы все карточки, т.е. задействованы все цифры. Но в нашем примере нет, например, цифры 8, значит предположение неверно. Нам просто не хватит места для всех карточек. Следовательно одно из этих чисел ТОЧНО можно разложить на четыре множителя!

Всё очень просто)

Answer 2

Давайте рассмотрим возможные варианты чисел, которые можно составить из этих карточек.

Всего у нас есть 90 карточек, разделенных на 9 групп по 10 карточек в каждой группе. Мы хотим составить два числа, одно из которых в три раза больше другого.

Предположим, что наименьшее число, которое мы можем составить, будет иметь одну карточку с цифрой 1 и одну карточку с цифрой 2. Тогда это число будет равно 12.

Следующее по возрастанию число будет состоять из карточек с цифрами 3 и 6. Оно будет равно 36.

Мы видим, что отношение чисел равно 36/12 = 3, что соответствует условию задачи.

Теперь давайте разложим число 36 на множители. Заметим, что 36 = 2 * 2 * 3 * 3. Мы видим, что число 36 можно разложить на четыре натуральных множителя (2, 2, 3, 3), больших единицы.

Таким образом, мы доказали, что одно из чисел, составленных из данных карточек, можно разложить на четыре необязательно различных натуральных множителя, больших единицы.