Question

Вычислить пределы, используя последствия первой и второй замечательных пределов и их последствия: 1) lim x->pi/2 (tg x/2)^(secx)

Answer 1

Неопределенность $1^\infty$ ⇒ применяется второй замечательный предел.

$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\Big({\rm tg}\, \frac{x}{2}\Big)^{\sec x}= \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\Big(1+{\rm tg}\, \frac{x}{2}-1\Big)^{\frac{1}{\cos x}\cdot \frac{{\rm tg}\, \frac{x}{2}-1}{{\rm tg}\, \frac{x}{2}-1}}=e^{\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{{\rm tg}\,\frac{x}{2}-1}{\cos x}}=$

$=e^{\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}}{(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})\cos \frac{x}{2}}}=e^{\frac{1}{\cos \frac{\pi}{4}}\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}}=\\ \\ \\ =e^{\frac{1}{\cos \frac{\pi}{4}}\cdot \frac{1}{\cos \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{4}}}=e^{\frac{1}{1/\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{1/\sqrt{2}+1/\sqrt{2}}}=e$

Answer 2

Для вычисления данного предела можно воспользоваться замечательными пределами и их последствиями. В данном случае, нам понадобятся следующие замечательные пределы:

1. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$
2. $\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} = 0$

Их последствия:

3. $\lim_{x\to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1$
4. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$

Теперь приступим к решению предела:

$$\begin{align*} \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\tan\frac{x}{2}\right)^{\sec(x)} &= \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\tan\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{\cos(x)}} \\ \end{align*}$$

Теперь воспользуемся замечательными пределами:

$$\begin{align*} &= \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\tan\frac{x}{2}\right)^{\frac{\sin(x)}{\sin(x)\cos(x)}} \\ &= \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\tan\frac{x}{2}\right)^{\frac{\sin(x)}{x}\cdot\frac{x}{\sin(x)\cos(x)}} \\ \end{align*}$$

Используем последствия замечательных пределов:

$$\begin{align*} &= \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\tan\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{\cos(x)}} \cdot \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right) \cdot \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\frac{x}{\sin(x)\cos(x)}\right) \\ \end{align*}$$

Теперь подставим значения замечательных пределов:

$$\begin{align*} &= 1 \cdot 1 \cdot \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\frac{x}{\sin(x)\cos(x)}\right) \\ \end{align*}$$

Теперь осталось вычислить последний предел:

$$\begin{align*} \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\frac{x}{\sin(x)\cos(x)}\right) \end{align*}$$

Для этого предела можно воспользоваться замечательным пределом:

$$\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \end{align*}$$

И замечанием, что при $x\to \frac{\pi }{2}$ 0 0