Question

Обчисли площу фігури, обмеженої лініями: y=x2−4x−28,y=4x+14−x2

Answer 1

Ответ:

x=3 ∨ x=1

Пошаговое объяснение:

x²=4x-3

x²-4x+3=0

x²-x-3x+3=0

x(x-1)-3(x-1)=0

(x-3)(x-1)=0

x=3 ∨ x=1

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої цими двома функціями, спершу потрібно знайти їхні точки перетину. Потім можна обчислити площу між цими двома функціями за допомогою інтеграла. Давайте розпочнемо з знаходження точок перетину:

1. Поставимо обидві функції рівними одне одному та розв'яжемо рівняння:

   y = x^2 - 4x - 28 y = 4x + 14 - x^2

   Поставимо y рівним одне одному та розв'яжемо рівняння:

   x^2 - 4x - 28 = 4x + 14 - x^2

2. Перенесемо всі члени на одну сторону рівняння:

   x^2 - 4x - 28 - 4x - 14 + x^2 = 0

3. Зіберемо подібні члени:

   2x^2 - 8x - 42 = 0

4. Поділимо обидві сторони на 2, щоб спростити рівняння:

   x^2 - 4x - 21 = 0

5. Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння. Використаємо квадратне рівняння для знаходження коренів:

   x = (4 ± √(4^2 - 4 * 1 * (-21))) / (2 * 1)

   x = (4 ± √(16 + 84)) / 2

   x = (4 ± √100) / 2

   x = (4 ± 10) / 2

Таким чином, маємо два значення x:

x₁ = (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7 x₂ = (4 - 10) / 2 = -6 / 2 = -3

Тепер, коли ми маємо точки перетину x₁ і x₂, ми можемо обчислити відповідні значення y, використовуючи обидві функції:

Для x = 7: y₁ = 7^2 - 4 * 7 - 28 = 49 - 28 - 28 = -7

Для x = -3: y₂ = (-3)^2 - 4 * (-3) - 28 = 9 + 12 - 28 = -7

Тепер ми маємо точки перетину: (x₁, y₁) = (7, -7) (x₂, y₂) = (-3, -7)

Для обчислення площі між цими двома функціями ми можемо використовувати інтеграл від x₁ до x₂ з різниці цих функцій:

Площа = ∫(від x₁ до x₂) [(x^2 - 4x - 28) - (4x + 14 - x^2)] dx

Проведемо обчислення інтеграла:

Площа = ∫(від -3 до 7) [(x^2 - 4x - 28) - (4x + 14 - x^2)] dx Площа = ∫(від -3 до 7) [x^2 - 4x - 28 - 4x - 14 + x^2] dx Площа = ∫(від -3 до 7) (-8x - 42) dx

Тепер обчислімо інтеграл:

Площа = [-4x^2 - 42x] від -3 до 7 Площа = [-(4 * 7^2 - 42 * 7) - (-(4 * (-3)^2 - 42 * (-3)))] Площа = [-196 - 294 - (36 + 126)] Площа = [-490 - 162] Площа = -652 квадратних одиниці

Отже, площа фігури, обмеженої цими двома функціями, дорівнює -652 квадратних одиницям. Площа є від'ємною через те, що одна з функцій знаходиться вище іншої на всьому обраному інтервалі.