Question

Однородные уравненияy''+3y'-2y=0

Answer 1

Ответ:

$y'' + 3y' - 2y = 0$

замена:

$y = {e}^{kx} \\ {k}^{2} + 3k - 2 = 0 \\ d = 9 + 8 = 17 \\ k1 = \frac{ - 3 + \sqrt{17} }{2} \\ k2 = \frac{ - 3 - \sqrt{17} }{2} \\ y = C1 {e}^{ \frac{ - 3 + \sqrt{17} }{2} x} + C2 {e}^{ \frac{ - 3 - \sqrt{17} }{2} x}$

Answer 2

Уравнение y'' + 3y' - 2y = 0 является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения предлагается найти характеристическое уравнение и найти его корни.

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид:

r^2 + 3r - 2 = 0.

Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение. Для этого применим формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 1, b = 3 и c = -2. Подставляем значения:

D = 3^2 - 4 * 1 * (-2) = 9 + 8 = 17.

Теперь, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

r = (-b ± √D) / (2a),

получаем два корня:

r1 = (-3 + √17) / 2, r2 = (-3 - √17) / 2.

Теперь мы имеем два корня характеристического уравнения, и решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

y(t) = C1 * e^(r1 * t) + C2 * e^(r2 * t),

где C1 и C2 - произвольные постоянные, и t - независимая переменная (время).

Это общее решение уравнения y'' + 3y' - 2y = 0. Чтобы найти частное решение с конкретными начальными условиями, необходимо использовать эти начальные условия для определения значений постоянных C1 и C2.