Question

Помогите решить уравнение y"+6y'-27y=0

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение относится к линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пусть y=e^{kx}y=e

kx

, получим характеристическое уравнение

k² + 6k + 13 = 0

D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * 13 = -16

√D = ± 4i

k₁,₂ = -3 ± 2i

Общее решение:

y=e^{-3x}\left(C_1\cos2x+C_2\sin 2x\right)y=e

−3x

(C

1

cos2x+C

2

sin2x)

Answer 2

Конечно! Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, можно использовать метод характеристического уравнения.

1. Начнем с характеристического уравнения: r^2 + 6r - 27 = 0,

   где r - неизвестная переменная.

2. Решим это квадратное уравнение. Мы можем факторизовать его или использовать квадратное уравнение. Применим квадратное уравнение:

   r = (-6 ± √(6^2 - 41(-27))) / (2*1), = (-6 ± √(36 + 108)) / 2, = (-6 ± √144) / 2, = (-6 ± 12) / 2.

   Получаем два корня: r1 = ( -6 + 12 ) / 2 = 3, r2 = ( -6 - 12 ) / 2 = -9.

3. Теперь у нас есть два корня характеристического уравнения: r1 = 3 и r2 = -9.

   Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид: y(t) = c1e^(r1t) + c2e^(r2t),

   где c1 и c2 - произвольные постоянные, t - независимая переменная (обычно обозначается как время).

Таким образом, общее решение уравнения y'' + 6y' - 27y = 0 будет: y(t) = c1e^(3t) + c2e^(-9t).

Вам может потребоваться задать начальные условия (например, значения y и его производной) для определения конкретного решения.