Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиямиy=ctg(x), x=π/6, x=5π/6, y=0

Answer 1

Ответ:

2ln2

Пошаговое объяснение:

............................................

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = ctg(x), x = π/6, x = 5π/6 и y = 0, нужно вычислить определенный интеграл функции y = ctg(x) в интервале между x = π/6 и x = 5π/6, а затем вычислить модуль этого значения, так как функция ctg(x) может иметь отрицательные значения.

Интеграл функции ctg(x) между x = π/6 и x = 5π/6 можно выразить следующим образом:

∫[π/6, 5π/6] ctg(x) dx

Используя тождество ctg(x) = 1/tan(x), получим:

∫[π/6, 5π/6] (1/tan(x)) dx

Теперь интегрируем это выражение. Для упрощения интегрирования можно воспользоваться заменой переменной, например, t = tan(x), dt = dx/cos^2(x). Тогда:

∫[π/6, 5π/6] (1/tan(x)) dx = ∫[tan(π/6), tan(5π/6)] (1/t) (dt/cos^2(x))

Значения tan(π/6) и tan(5π/6) равны sqrt(3) и -sqrt(3) соответственно.

Теперь можно вычислить этот интеграл:

∫[π/6, 5π/6] (1/tan(x)) dx = ∫[sqrt(3), -sqrt(3)] (1/t) (dt/cos^2(x))

После интегрирования получим:

= [-(1/t)]∣[sqrt(3), -sqrt(3)] = -[1/sqrt(3) - (-1/sqrt(3))] = -2/sqrt(3)

Теперь нужно взять модуль этого значения, так как мы рассматриваем площадь:

|-(2/sqrt(3))| = 2/sqrt(3)

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = ctg(x), x = π/6, x = 5π/6 и y = 0, равна 2/sqrt(3).