Question

У трикутнику АВС вписано коло із центром О. Через точку О проведено пряму МО, перпендикулярну до площини АВС. Точка М віддалена від цієї площини на 2 корфнь з 5 см. Знайдіть відстань від точки М до сторін трикуника, якщо АВ=13 см, ВС=14 см, АС=15 см

Answer 1

Ответ:

6 см

Пошаговое объяснение:

Якщо коло, с центром у  точці О вписане в трикутник АВС (точки  L,K,P - точки дотику кола до сторін ВС, АС і АВ  відповідно), то OL, OK,OP - радіуси вписаного кола ( OL ⟂ BC, OK ⟂ AC, OP ⟂AB) i відстані від центра кола до сторін трикутника АВС.

• Площа трикутника дорівнює добутку півпериметра трикутника на радіус вписаного кола.

S=r×p,

p- півпериметр трикутника,

$p = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21$

r - радіус вписаного кола.

=> r= S/p

Площу трикутника знайдемо по формулі Герона:

$s = \sqrt{p(p- a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \\ = \sqrt{3 \times 7 \times 8 \times 7 \times 6} = 7 \times 12 = 84$

$r = \dfrac{s}{p} = \dfrac{84}{21} = 4$ см

Трикутники MOL, MOK, MOP рівні за двома катетами.

=> Відстань від точки М до сторін трикутника (ML=MK=MP) знайдемо по т.Піфагора:

ML=

$= \sqrt{ {OM}^{2} + {OL}^{2} } = \sqrt{( {2 \sqrt{5)} }^{2} + {4}^{2} } = \sqrt{20 + 16} = 6$ см

Answer 2

Давайте розглянемо дану ситуацію.

Ми маємо трикутник ABC зі сторонами AB = 13 см, BC = 14 см і AC = 15 см, в якому вписано коло з центром O. Проведена пряма MO, перпендикулярна до площини ABC, і точка M віддалена від цієї площини на 2 кореня з 5 см. Нашою метою є знайти відстань від точки M до сторін трикутника ABC.

Для початку, давайте знайдемо радіус кола, оскільки він буде корисним для подальших обчислень.

Радіус кола можна знайти за допомогою півпериметра трикутника і площі трикутника. Півпериметр трикутника ABC:

Semi-Perimeter (s) = (AB + BC + AC) / 2 = (13 см + 14 см + 15 см) / 2 = 21 см

Тепер використовуємо формулу площі трикутника через радіус вписаного кола і півпериметр:

Площа трикутника ABC (S) = r * s,

де r - радіус вписаного кола, а s - півпериметр.

Отже, r = S / s = (r * s) / s = r,

де S - площа трикутника ABC, яку ми можемо знайти за допомогою формули Герона:

S = √[s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC)].

Підставимо значення s, AB, BC, і AC:

S = √[21 см * (21 см - 13 см) * (21 см - 14 см) * (21 см - 15 см)] = √(21 см * 8 см * 7 см * 6 см) = √(21168 см^4) = 46 см^2.

Отже, радіус вписаного кола дорівнює:

r = S / s = 46 см^2 / 21 см = (46/21) см ≈ 2.19 см.

Тепер ми знаємо радіус кола. Далі, ми можемо знайти відстань від точки М до сторін трикутника, використовуючи теорему про схожість трикутників.

Трикутник MOA подібний до трикутника ABC через спільний кут в точці O і те, що MO паралельна до площини ABC. Таким чином, відношення сторін трикутників MOA і ABC дорівнюють відношенню відстані від точки M до сторін трикутника ABC і радіусу кола:

(MA / AB) = (MO / OA).

Ми знаємо значення MA (відстань від точки M до сторін трикутника ABC), радіуса кола (OA = 2.19 см), і можемо знайти MO (відстань від точки M до площини ABC):

(MA / 13 см) = (2.19 см / MO).

Тепер розв'яжемо цю рівність для MO:

MO = (2.19 см * 13 см) / MA.

Також, ми знаємо, що відстань від точки M до площини ABC дорівнює 2 кореня з 5 см, тобто:

MO = 2√5 см.

Тепер ми можемо прирівняти два вирази для MO та знайти MA:

(2.19 см * 13 см) / MA = 2√5 см.

Розв'яжемо це рівняння для MA:

MA = (2.19 см * 13 см) / (2√5 см) ≈ 5.32 см.

Отже, відстань від точки M до сторін трикутника ABC дорівнює приблизно 5.32 см.