Question

1. На одной стороне угла с вершиной E отмечены точки O и P, на другой стороне - N и M так, что EO = EN = 5 см, EP = EM = 6 см. Докажите, что: а) PN = MO; б) LP = LM, где L - точка пересечения отрезков PN и MO

Answer 1

Пошаговый ответ:

Представим треугольники EOM и ENP.

а) Так как EO = EN, а EP = EM, то вышеупомянутые треугольники EOM и ENP равны по первому признаку(угол ∡E для треугольников общий, смежные с ним стороны EP и EN соответственно равны сторонам EM и EO).

Значит стороны MO и PN равны.

===============================

б) Так как ΔEOM = ΔENP(это мы подтвердили выше), значит ∠EPN = ∠EMO. В задаче указано, что EP = EM. Значит треугольник EPM равнобедренный, и углы ∡P и ∡M равны.

Теперь, зная, что ∡P = ∡M и ∠EPN = ∠EMO, можно с уверенностью сказать, что ∠MPN = ∠PMO. Значит треугольник PML равнобедренный, значит, LP = LM.

Answer 2

Дано:

△EPM, EO = EN = 5 см; EP = EM = 6 см.

Доказать:

а) PN = MO

б) LP = LM, где L - точка пересечения отрезков PN и MO.

Доказательство:

ЕР = ЕМ (по условию), следовательно △EPM - равнобедренный и ∠ЕРМ = ∠ЕМР. РО = ЕР - ЕО = 6-5 = 1 см. MN = EM - EN = 6-5 = 1 см, следовательно PO = MN. У треугольников OPL и NLM общая сторона PM, то PO = MN и ∠EPM = ∠EMP, то △POM = △NPM (по двум сторонам и углу между ними), следовательно PN = MO. ∠LPM = ∠LMP, следовательно △PLM - равнобедренный, значит LP = LM. Чтд.

Answer 3

Для доказательства этих утверждений, нам нужно воспользоваться геометрическими свойствами углов и треугольников.

а) Докажем, что PN = MO:

Рассмотрим треугольник EPN. У нас есть следующие данные:

1. EO = EN = 5 см (дано в условии).
2. EP = 6 см (дано в условии).

Так как два отрезка EO и EN равны, а стороны EP и EP равны, то треугольник EPN - это равнобедренный треугольник. Значит, угол EPN равен углу ENP.

Теперь рассмотрим треугольник EMO. У нас есть следующие данные:

1. EO = EN = 5 см (дано в условии).
2. EM = 6 см (дано в условии).

Аналогично, треугольник EMO - это также равнобедренный треугольник, и угол EMO равен углу EOM.

Теперь рассмотрим треугольник ENO. У нас есть следующие данные:

1. EO = EN = 5 см (дано в условии).

Так как два отрезка EO и EN равны, то треугольник ENO - это равносторонний треугольник. Значит, угол ENO равен 60 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, и в равностороннем треугольнике все углы равны).

Теперь у нас есть информация о углах EPN, EMO и ENO:

1. Угол EPN равен углу ENP.
2. Угол EMO равен углу EOM.
3. Угол ENP равен 60 градусов (из треугольника ENO).

Так как угол ENP равен углу EMO, и они оба равны 60 градусов, то угол EPN также равен углу EOM, и они оба равны 60 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник EPN и треугольник EMO. У них есть два равных угла (EPN и EMO), и одна сторона (EP) общая для них. По признаку равных треугольников (Угол-Угол-Сторона) эти треугольники равны.

Из равенства треугольников EPN и EMO следует, что сторона PN равна стороне MO:

PN = MO

б) Докажем, что LP = LM:

Мы уже доказали, что треугольник EPN равен треугольнику EMO. Поэтому у нас есть следующие равенства:

1. EP = EM (дано в условии).
2. EN = EO (дано в условии).
3. Угол EPN = Угол EMO (доказано в пункте а)).

Теперь рассмотрим треугольник LEP и треугольник LEM. У них есть два равных угла (EPN и EMO), и одна сторона (EP) общая для них. По признаку равных треугольников (Угол-Угол-Сторона) эти треугольники равны.

Из равенства треугольников LEP и LEM следует, что сторона LP равна стороне LM:

LP = LM

Таким образом, мы доказали оба утверждения:

а) PN = MO б) LP = LM