Question

Решите полным ответом! a) x2 + 3x - 10 > 0b) 5x - x2 < 0c) 4x2 - 9 > 0​

Answer 1

Ответ:

$(-\infty; -5) \cup (2; +\infty);$

$(-\infty; 0) \cup (5; +\infty);$

$(-\infty; -1,5) \cup (1,5; +\infty);$

Пошаговое объяснение:

$a) \quad x^{2}+3x-10 > 0;$

Найдём нули функции:

$x^{2}+3x-10=0;$

$\left \{ {{x_{1}+x_{2}=-3} \atop {x_{1} \cdot x_{2}=-10}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x_{1}=-5} \atop {x_{2}=2}} \right. ;$

Определим знаки неравенства на интервалах

$(-\infty; -5), \quad (-5; 2), \quad (2; +\infty);$

$x=-6 \Rightarrow (-6)^{2}+3 \cdot (-6)-10=36-18-10=18-10=8>0;$

$x=0 \Rightarrow 0^{2}+3 \cdot 0-10=0+0-10=-10$

$x=3 \Rightarrow 3^{2}+3 \cdot 3-10=9+9-10=9-1=8>0;$

Неравенство принимает положительное значение при числах из интервалов

$(-\infty; -5), \quad (2; +\infty),$

значит,

$x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty);$

$b) \quad 5x-x^{2}$

$x(5-x)$

Найдём нули функции:

$x(5-x)=0;$

$x=0 \quad \vee \quad 5-x=0;$

$x=0 \quad \vee \quad x=5;$

Определим знаки неравенства на интервалах

$(-\infty; 0), \quad (0; 5), \quad (5; +\infty);$

$x=-1 \Rightarrow 5 \cdot (-1)-(-1)^{2}=-5-1=-6$

$x=2 \Rightarrow 5 \cdot 2-2^{2}=10-4=6>0;$

$x=6 \Rightarrow 5 \cdot 6-6^{2}=30-36=-6$

Неравенство принимает отрицательное значение при числах из интервалов

$(-\infty; 0), \quad (5; +\infty),$

значит,

$x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty);$

$c) \quad 4x^{2}-9>0;$

$2^{2} \cdot x^{2}-3^{2}>0;$

$(2x)^{2}-3^{2}>0;$

$(2x-3)(2x+3)>0;$

Найдём нули функции:

$(2x-3)(2x+3)=0;$

$2x-3=0 \quad \vee \quad 2x+3=0;$

$2x=3 \quad \vee \quad 2x=-3;$

$x=1,5 \quad \vee \quad x=-1,5;$

Определим знаки неравенства на интервалах

$(-\infty; -1,5), \quad (-1,5; 1,5), \quad (1,5; +\infty);$

$x=-2 \Rightarrow 4 \cdot (-2)^{2}-9=4 \cdot 4-9=16-9=7>0;$

$x=0 \Rightarrow 4 \cdot 0^{2}-9=4 \cdot 0-9=0-9=-9$

$x=3 \Rightarrow 4 \cdot 3^{2}-9=4 \cdot 9-9=36-9=27>0;$

Неравенство принимает положительное значение при числах из интервалов

$(-\infty; -1,5), \quad (1,5; +\infty),$

значит,

$x \in (-\infty; -1,5) \cup (1,5; +\infty);$

Answer 2

Для решения данных неравенств, мы можем использовать методы факторизации и анализа знаков. Давайте разберемся с каждым из них:

a) x^2 + 3x - 10 > 0:

Сначала факторизуем левую сторону неравенства:

(x + 5)(x - 2) > 0

Теперь мы можем определить интервалы, на которых данное неравенство истинно. Для этого рассмотрим знаки выражения (x + 5) и (x - 2) на числовой прямой:

• Если x < -5, оба множителя будут отрицательными, и их произведение будет положительным.
• Если -5 < x < 2, первый множитель (x + 5) будет положительным, а второй (x - 2) - отрицательным, и их произведение будет отрицательным.
• Если x > 2, оба множителя будут положительными, и их произведение будет снова положительным.

Итак, неравенство выполняется, когда x < -5 или x > 2:

x < -5 или x > 2

b) 5x - x^2 < 0:

Для этого неравенства сначала перепишем его в виде:

-x^2 + 5x < 0

Теперь факторизуем:

-x(x - 5) < 0

Теперь анализируем знаки выражения на числовой прямой:

• Если x < 0, первый множитель (-x) положителен, а второй (x - 5) - отрицателен, и их произведение отрицательно.
• Если 0 < x < 5, оба множителя отрицательны, и их произведение положительно.
• Если x > 5, оба множителя положительны, и их произведение снова отрицательно.

Итак, неравенство выполняется, когда 0 < x < 5:

0 < x < 5

c) 4x^2 - 9 > 0:

Для этого неравенства факторизация не требуется, так как оно уже в квадратичной форме. Просто найдем корни уравнения:

4x^2 - 9 = 0

4(x - 3)(x + 3) = 0

Теперь анализируем знаки выражения на числовой прямой:

• Если x < -3, оба множителя (x - 3) и (x + 3) будут отрицательными, и их произведение будет положительным.
• Если -3 < x < 3, первый множитель (x - 3) отрицателен, а второй (x + 3) положителен, и их произведение отрицательно.
• Если x > 3, оба множителя будут положительными, и их произведение снова будет положительным.

Итак, неравенство выполняется, когда -3 < x < 3:

-3 < x < 3