Question

Помогите решить )) y"-2y'+5y=0 ,Y(0)=1, Y'(0)=0

Answer 1

Ответ:

$y''-2y'+5y=0\ \ ,\ \ \ y(0)=1\ \ ,\ \ y'(0)=0\\\\a)\ \ k^2-2k+5=0\ \ ,\ \ \ D/4=1-5=-4\ \ ,\ \ k_{1,2}=1\pm 2i\\\\y_{obshee}=e^{x}\, \Big(C_1\, cos2x+C_2\, sin2x\Big)\\\\\\b)\ \ y(0)=C_1\cdot cos0+C_2\cdot sin0=C_1\ \ ,\ \ C_1=1\\\\y'(x)=e^{x}\, \Big(C_1\, cos2x+C_2\, sin2x\Big)+e^{x}\, \Big(-2C_1\, sin2x+2\, C_2\, cos2x\Big)\\\\y'(0)=C_1+2C_2=0\ \ ,\ \ 1+2C_2=0\ \ ,\ \ C_2=-0,5\\\\\\y_{chastnoe}=e^{x}\, \Big(\, cos2x-0,5\, sin2x\Big)$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения второго порядка с const* коеффициентами и начальными условиями можно использовать метод характеристических уравнений. Уравнение выглядит следующим образом:

y'' - 2y' + 5y = 0

Сначала найдем характеристическое уравнение, заменив производные следующими выражениями:

r^2 - 2r + 5 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант D равен:

D = (-2)^2 - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16

Поскольку дискриминант отрицательный, у нас есть два комплексных корня:

r1 = (-(-2) + sqrt(-16)) / (2 * 1) = (2 + 4i) / 2 = 1 + 2i r2 = (-(-2) - sqrt(-16)) / (2 * 1) = (2 - 4i) / 2 = 1 - 2i

Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения, используя комплексные корни:

y(t) = e^(1t) * (A * cos(2t) + B * sin(2t))

Где A и B - произвольные константы, которые могут быть определены из начальных условий. Мы имеем следующие начальные условия:

Y(0) = 1, Y'(0) = 0

Подставим их и найдем значения A и B:

y(0) = A * cos(0) + B * sin(0) = A y'(0) = A * (-2sin(0)) + B * 2cos(0) = -2A

Теперь у нас есть:

A = 1 -2A = 0

Отсюда следует, что A = 1 и B = 0.

Итак, окончательное решение вашего дифференциального уравнения:

y(t) = e^t * cos(2t)