Question

Помогите решить данное тригонометрическое уравнение!

Answer 1

Заметим: sin4x = sin(x+3x) = sinx·cos3x + sin3x·cosx
Тогда  2sin3x·cosx - sin4x = 2sin3x·cosx - (sinx·cos3x + sin3x·cosx) = 
= sin3x·cosx - sinx·cos3x = sin(3x - x) = sin 2x.
Поэтому исходное уравнение равносильно уравнению:
$\log_{\frac{4x}{\pi}}(sin2x)=0$
О.Д.З.: $\begin {cases} \frac{4x}{\pi}\ \textgreater \ 0 \\ \frac{4x}{\pi} \neq 1 \\ sin2x\ \textgreater \ 0 \end {cases}$
Решаем уравнение: sin 2x = 1
$2x= \frac{\pi}{2} +2 \pi k,\ k \in Z\\ x= \frac{\pi}{4} +\pi k,\ k \in Z$
"Разберемся" с  О.Д.З.:
$\begin {cases} x\ \textgreater \ 0 \\ x \neq \frac{\pi}{4} \\ \pi k \ \textless \ x\ \textless \ \frac{\pi}{2}+ \pi k \end {cases}, \ k \in Z$
Теперь с учетом О.Д.З. решение уравнения есть:
$x= \frac{5 \pi}{4}+2 \pi n,\ n=0;1;2;3;...$
Ответ: $\frac{5 \pi}{4}+2 \pi n$, где n - неотрицательное целое число.