Question

Найти значение n, при котором 4 точки А(2;-1;3), В(n;1;1), С(2;1;0), D(-1;-1;1) лежат в одной плоскости

Answer 1

Даны 4 точки А(2;-1;3), В(n;1;1), С(2;1;0), D(-1;-1;1).

Определяем уравнение плоскости по трём точкам с известными координатами: А(2;-1;3), С(2;1;0), D(-1;-1;1).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

xD - xA yD - yA zD - zA     = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 2          y - (-1)           z - 3

2 - 2          1 - (-1)           0 - 3

(-1) - 2       (-1) - (-1)          1 - 3     = 0.

x - 2         y - (-1)          z - 3

0               2                -3

-3               0                -2     = 0.

(x - 2)  (2·(-2)-(-3)·0)  -  (y - (-1))(0·(-2)-(-3)·(-3))  +  (z - 3)  (0·0-2·(-3))  = 0.

(-4) (x - 2)  + 9 (y - (-1))  + 6 (z - 3)  = 0.

 - 4x + 9y + 6z - 1 = 0.

Подставим в полученное уравнение координаты точки В.

-4n + 9*1 + 6*1 - 1 = 0,

-4n = -14,

Ответ: n = -14/(-4) = 7/2 = 3,5.

Answer 2

Чтобы найти значение n, при котором 4 точки A(2;-1;3), B(n;1;1), C(2;1;0), D(-1;-1;1) лежат в одной плоскости, мы можем воспользоваться уравнением плоскости в трехмерном пространстве. Уравнение плоскости имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0,

где (A, B, C) - нормальный вектор к плоскости, (x, y, z) - координаты точки на плоскости, и D - свободный член.

Для нахождения нормального вектора к плоскости, мы можем взять векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости.

Давайте выберем два вектора: AB и AC.

AB = (n - 2, 1 - (-1), 1 - 3) = (n - 2, 2, -2),

AC = (2 - 2, 1 - (-1), 0 - 3) = (0, 2, -3).

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости, взяв векторное произведение AB и AC:

N = AB × AC = (2(-3) - 2(-2), (-2)(0) - (n - 2)(-3), (n - 2)(2) - 2(0)) = (-6 + 4, 3n - 6, 2n - 4) = (-2, 3n - 6, 2n - 4).

Теперь, чтобы точки A, B, C и D лежали в одной плоскости, вектор ND должен быть коллинеарен с нормальным вектором N. Это означает, что вектор ND должен быть параллелен вектору N и иметь тот же направляющий вектор.

Сравнивая компоненты векторов ND и N, мы получаем следующие уравнения:

1. -2 = k(0), где k - некоторая константа,
2. 3n - 6 = k(-2),
3. 2n - 4 = k(3n - 6).

Из первого уравнения видно, что k = 0. Теперь мы можем использовать k во втором и третьем уравнениях:

2. 3n - 6 = 0,
3. 2n - 4 = 0.

Решая эти уравнения, мы получаем:

2. 3n = 6,
3. 2n = 4.

Отсюда:

2. n = 2,
3. n = 2.

Таким образом, значение n, при котором точки A, B, C и D лежат в одной плоскости, равно n = 2.