Question

Дифференциальные уравнения первого порядка(1+у²)dx=xydy. если у=1,при х=2​

Answer 1

Ответ:

$(1 + {y}^{2} )dx = xydy \\ \int\limits \frac{ydy}{1 + {y}^{2} } =\int\limits \frac{dx}{x} \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{2ydy}{1 + {y}^{2} } = ln(x) + C \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(1 + {y}^{2}) }{1 + {y}^{2} } = ln(x) + ln(C) \\ \frac{1}{2} ln(1 + {y}^{2} ) = ln(Cx) \\ ln(1 + {y}^{2} ) = 2 ln(Cx) \\ 1 + {y}^{2} = C{x}^{2}$

общее решение.

$y(2) = 1 \\ {1}^{2} + 1 = C \times 4 \\ C = 2 \div 4 \\ C = \frac{1}{2}$

$1 + {y}^{2} = \frac{ {x}^{2} }{2} \\ {y}^{2} = \frac{ {x}^{2} }{2} - 1$

частное решение.

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение первого порядка, сначала мы можем разделить обе стороны на $(1+y^2)$ и выразить $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{1}{1+y^2}dx = \frac{x}{1+y^2}dy$

Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения. Для этого проинтегрируем левую сторону относительно $x$ и правую сторону относительно $y$:

$\int \frac{1}{1+y^2}dx = \int \frac{x}{1+y^2}dy$

Левая сторона может быть проинтегрирована с использованием арктангенса:

$\arctan(y) + C_1 = \int \frac{x}{1+y^2}dy$

Теперь мы можем проинтегрировать правую сторону по переменной $y$. Для этого выполним замену переменных $u = 1+y^2$ и $du = 2ydy$:

$\arctan(y) + C_1 = \int \frac{x}{u} \cdot \frac{du}{2}$

$\arctan(y) + C_1 = \frac{1}{2} \int \frac{x}{u} du$

Теперь проинтегрируем это по $u$ и вернемся к переменной $y$ с заменой обратно:

$\arctan(y) + C_1 = \frac{1}{2} \ln|u| + C_2$

Теперь мы можем вернуться к переменной $u$ и использовать исходное выражение $u = 1+y^2$:

$\arctan(y) + C_1 = \frac{1}{2} \ln|1+y^2| + C_2$

Теперь объединим константы интегрирования $C_1$ и $C_2$ в одну константу $C$:

$\arctan(y) = \frac{1}{2} \ln|1+y^2| + C$

Теперь у нас есть общее решение данного дифференциального уравнения. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям $y = 1$ при $x = 2$, мы можем подставить эти значения в уравнение и решить для $C$:

$\arctan(1) = \frac{1}{2} \ln|1+1^2| + C$

$\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \ln|2| + C$

$\frac{\pi}{4} = \ln(2) + C$

$C = \frac{\pi}{4} - \ln(2)$

Итак, частное решение данного дифференциального уравнения с начальными условиями $y = 1$ при $x = 2$ имеет вид:

$\arctan(y) = \frac{1}{2} \ln|1+y^2| + \frac{\pi}{4} - \ln(2)$