Question

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций (ось вращения – ось Ox ): y=5cosx , y=cosx , x=0 , x≥0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

рисуем графики и видим пределы интегрирования по х (0;π/2)

и наш объем рассчитываем  ка разность объемов тел, образованныx вращением кривых y₁=5cosx , y₂=cosx

$V=V_1-V_2=\pi \int\limits^{\pi /2}_0 {(5cosx)^2} \, dx -\pi \int\limits^{\pi /2}_0 {(cosx)^2} \, dx =\pi \int\limits^{\pi /2}_0 {(5cosx)^2-(cosx)^2} \, dx =\\\\\pi \int\limits^{\pi /2}_0 {24(cosx)^2} \, dx =$

по формуле $cos^2x= \frac{1}{2} cos2x+\frac{1}{2}$  

сначала посчитаем интеграл

$\int\limits^{\pi /2}_0 {24(cosx)^2} \, dx = 12(\int\limits^{\pi /2}_0 {} \, dx +\int\limits^{\pi /2}_0 {cos2x} \, dx )=$

$=12xI_0^{\pi /2}+\left[\begin{array}{ccc}u=2x\\du=2dx\\\end{array}\right] =$

после замены пересчитаем пределы интегрирования: верхний u = π; нижний u = 0

$=6\pi +16\int\limits^\pi _0 {cosu} \, du =6\pi +sinuI_0^\pi =6\pi -0=6\pi$

и теперь объем

$V=\pi *6\pi$

Answer 2

Для вычисления объема тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси Ox, можно использовать метод цилиндров. Мы будем интегрировать объем малых цилиндрических слоев, образующих это тело.

Для этого сначала найдем точки пересечения кривых y = 5cos(x) и y = cos(x). Решим уравнение:

5cos(x) = cos(x)

Вычитаем cos(x) с обеих сторон:

4cos(x) = 0

Теперь делим обе стороны на 4:

cos(x) = 0

Для нахождения точек пересечения кривых найдем значения x, для которых cos(x) = 0. Это происходит в точках, где cos(x) равен 0, то есть x = π/2, 3π/2, 5π/2 и так далее.

Теперь мы можем выразить y = 5cos(x) и y = cos(x) в виде функций x:

y = 5cos(x) при x = π/2, 3π/2, 5π/2, ...

y = cos(x) при x = 0, π, 2π, 3π, ...

Теперь мы можем найти объем тела, вращая фигуру между этими кривыми вокруг оси Ox от x = 0 до x = π/2.

Объем такого цилиндрического слоя можно найти по формуле:

dV = π * [f(x)]^2 * dx

где f(x) - расстояние между кривыми в данном x, то есть f(x) = 5cos(x) - cos(x) = 4cos(x), dx - бесконечно малый элемент длины вдоль оси x.

Теперь мы можем интегрировать эту формулу от x = 0 до x = π/2:

V = ∫[0, π/2] π * (4cos(x))^2 dx

V = π * ∫[0, π/2] 16cos^2(x) dx

Используя тригонометрическую формулу cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2, мы можем переписать интеграл:

V = π * 16/2 * ∫[0, π/2] (1 + cos(2x)) dx

Теперь вычисляем интеграл:

V = 8π * [x + (1/2)sin(2x)] |[0, π/2]

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

V = 8π * [(π/2 + (1/2)sin(π)) - (0 + (1/2)sin(0))]

Поскольку sin(π) = 0 и sin(0) = 0, выражение упрощается:

V = 8π * [(π/2 + 0) - (0 + 0)]

V = 8π * (π/2)

V = 4π²

Таким образом, объем тела, образованного вращением данной фигуры вокруг оси Ox, равен 4π² кубическим единицам.