Question

Для данной функции y и аргумента x0 вычислить y''(x0) : y =( 2^-x) * cos2x x0 = 0

Answer 1

Ответ:

y''(0) = -4 + ln²2

Пошаговое объяснение:

y =$2^{-x}$cos2x = $\frac{cos2x}{2^{x}}$

y' = (-2*2ˣsin2x -2ˣ *ln2* cos2x)/2²ˣ = (-2sin2x)/ 2ˣ - (ln2 * cos2x)/2ˣ

y'' = (-4*2ˣcos2x + 4*2ˣln2 * sin2x)/2²ˣ  - (-2*2ˣ*ln2*sin2x - 2ˣln²2 * cos2x)/2²ˣ

при x = 0  sin0 = 0, cos0 = 1, 2⁰ = 1

y''(0) = -4 + ln²2

как-то мне не нравится этот логарифм...

вдруг чего напутал

Answer 2

Для вычисления второй производной функции y(x) = (2^(-x)) * cos(2x) в точке x0 = 0, нам сначала нужно вычислить первую производную, а затем вторую.

1. Вычислим первую производную y'(x):

Используя правило производной произведения, получаем:

y'(x) = [(2^(-x))' * cos(2x)] + [2^(-x) * (cos(2x))']

Для вычисления производной (2^(-x))' нужно применить правило цепочки:

(2^(-x))' = ln(2) * (2^(-x)) * (-1)

А производная (cos(2x))' равна:

(cos(2x))' = -2 * sin(2x)

Теперь мы можем вычислить y'(x):

y'(x) = [ln(2) * (2^(-x)) * (-1) * cos(2x)] + [2^(-x) * (-2) * sin(2x)]

Теперь у нас есть первая производная, y'(x). Теперь вычислим вторую производную, y''(x), используя те же правила.

2. Вычислим вторую производную y''(x):

Для этого сначала вычислим производную y'(x) по x:

y''(x) = [(ln(2) * (2^(-x)) * (-1) * cos(2x))' + (2^(-x) * (-2) * sin(2x))']

Используем правило производной произведения для первого слагаемого:

(y1 * y2)' = y1' * y2 + y1 * y2'

Для (ln(2) * (2^(-x)) * (-1) * cos(2x))' нужно вычислить производные каждого множителя:

(ln(2))' = 0 (постоянная)

Используя правило цепочки для (2^(-x))':

(2^(-x))' = ln(2) * (2^(-x)) * (-1)

Теперь вычислим производную (cos(2x))':

(cos(2x))' = -2 * sin(2x)

Теперь мы можем вычислить y''(x):

y''(x) = [0 * (2^(-x)) * (-1) * cos(2x) + ln(2) * (2^(-x)) * (-1) * (-2) * sin(2x)] + [2^(-x) * (-2) * cos(2x) - 2 * sin(2x) * (ln(2) * (2^(-x)) * (-1))]

y''(x) = [0 + 4ln(2) * (2^(-x)) * sin(2x)] + [2^(-x) * (-2) * cos(2x) + 2ln(2) * (2^(-x)) * sin(2x)]

Теперь подставим x0 = 0:

y''(0) = [4ln(2) * (2^(-0)) * sin(20)] + [2^(-0) * (-2) * cos(20) + 2ln(2) * (2^(-0)) * sin(2*0)]

y''(0) = [4ln(2) * 1 * 0] + [1 * (-2) * 1 + 2ln(2) * 0]

y''(0) = [0] + [-2]

y''(0) = -2

Итак, вторая производная функции y(x) в точке x0 = 0 равна -2.