Question

Найти dz, если z=yx^y

Answer 1

Ответ:

$z = y {x}^{y}$

$Z'x = y \times y {x}^{y - 1} = {y}^{2} {x}^{y - 1}$

$Z'y = (y)' {x}^{y} + ( {x}^{y} )'y = {x}^{y} + y \times ln(x) \times {x}^{y} = {x}^{y} (1 + y ln(x) )$

$dz = {y}^{2} {x}^{y - 1} dx + {x}^{y} (1 + y ln(x)) dy$

Answer 2

Чтобы найти частную производную dz по одной из переменных (например, по x или по y) для функции z = yx^y, нужно использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule).

Для нахождения dz/dx:

1. Разложим функцию z на две составляющие: z = f(u) и u = g(x, y), где f(u) = u^y и g(x, y) = x^y.
2. Теперь можно выразить dz/dx, используя chain rule:

dz/dx = (dz/du) * (du/dx)

Давайте найдем эти производные:

1. Вычислим dz/du, где z = u^y:

dz/du = yu^(y-1)

2. Вычислим du/dx, где u = x^y:

du/dx = y * x^(y-1)

Теперь объединим эти результаты:

dz/dx = (dz/du) * (du/dx) = (yu^(y-1)) * (y * x^(y-1))

Итак, dz/dx = y^2 * x^(y-1) * u^(y-1), где u = x^y.

Если вам нужна производная по y (dz/dy), то процесс будет похожим, но сначала найдем du/dy:

du/dy = x^y * ln(x)

Затем используем chain rule, чтобы найти dz/dy:

dz/dy = (dz/du) * (du/dy) = (yu^(y-1)) * (x^y * ln(x))

Итак, dz/dy = y^2 * x^y * ln(x) * u^(y-1), где u = x^y.