Question

Дифференциального уравнения y''+7y'-6y=0

Answer 1

Ответ: y=C1*e^[(-7/2+√73/2)*x)+C2*e^[(-7/2-√73/2)*x].

Пошаговое объяснение:

Перед нами - линейное однородное ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Составляем характеристическое уравнение (ХУ): k²+7*k-6=0. Оно действительные корни  k1=-7/2+√73/2, k2=-7-√73/2, поэтому y=C1*e^[(-7/2+√73/2)*x]+C2*e^[(-7/2-√73/2)*x].

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

y'' + 7y' - 6y = 0

Мы можем использовать метод характеристического уравнения. Сначала найдем характеристическое уравнение, предполагая решение в виде:

y(t) = e^(rt)

где r - неизвестная константа. Теперь выразим производные:

y'(t) = r * e^(rt) y''(t) = r^2 * e^(rt)

Подставим это в исходное уравнение:

r^2 * e^(rt) + 7r * e^(rt) - 6e^(rt) = 0

Теперь вынесем e^(rt) как общий множитель и получим:

e^(rt) * (r^2 + 7r - 6) = 0

Теперь решим характеристическое уравнение:

r^2 + 7r - 6 = 0

Давайте решим это квадратное уравнение с помощью квадратного уравнения или факторизации:

(r + 8)(r - 1) = 0

Итак, у нас есть два корня:

r1 = -8 r2 = 1

Теперь мы можем записать общее решение исходного дифференциального уравнения:

y(t) = C1 * e^(-8t) + C2 * e^(t)

Где C1 и C2 - произвольные постоянные. Это общее решение вашего дифференциального уравнения.