Question

Найти частное решение дифференциального уравнения: 3. x^2dy=3y^2dx, y(1)=2;

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

x²dy=3y²dx;   y(1)=2

сначала решаем общее уравнение

поделим обе части на dx

$x^2\frac{dy}{dx} =3y^2$

теперь поделим на х²у²

$\frac{\frac{dy}{dx} }{y^2} =\frac{3}{x^2}$

а теперь возьмем интеграл по dx

$\int\ {\frac{\frac{dy}{dx} }{y^2} } \, dx= \int {\frac{3}{x^2} } \, dx$

$\int {\frac{1}{y^2} } \, dy = \int {\frac{3}{x^2} } \, dx$

$-\frac{1}{y} =-\frac{3}{x} +C$

$y = \frac{x}{3-Cx}$

теперь частное решение. подставляем в уравнение х и у и находим С

$2=\frac{1}{3-C} ; c=2.5$

частное решение

$y = \frac{x}{3-2,5x}$

Answer 2

Ответ:

${x}^{2} dy = 3 {y}^{2} dx \\ \int\limits \frac{dy}{ {y}^{2} } = 3\int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} } \\ \frac{ {y}^{ - 1} }{ - 1} = 3 \times \frac{ {x}^{ - 1} }{ - 1} + C \\ - \frac{1}{y} = - \frac{3}{x} + C$

общее решение

$y(1) = 2$

$-\frac{1}{2} = - \frac{3}{1} + C \\C = -\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}$

Частное решение:

$\frac{1}{y} = \frac{3}{x} + \frac{5}{2}$

Answer 3

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных. Уравнение выглядит следующим образом:

x^2 dy = 3y^2 dx

Давайте разделим переменные, переместив все члены, содержащие y, на левую сторону и все члены, содержащие x, на правую сторону:

dy / y^2 = 3 dx / x^2

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны. Сначала интегрируем левую сторону:

∫(1 / y^2) dy = ∫3 / x^2 dx

Интегрируя каждую из сторон, получим:

-1/y = -3/x + C

Где C - константа интеграции. Теперь давайте решим это уравнение относительно y:

-1/y = -3/x + C

Умножим обе стороны на -1:

1/y = 3/x - C

Теперь подставим начальное условие y(1) = 2:

1/2 = 3/1 - C

Упростим:

1/2 = 3 - C

Теперь выразим C:

C = 3 - 1/2 C = 5/2

Теперь, зная значение C, мы можем вернуться к уравнению:

1/y = 3/x - 5/2

Теперь найдем значение y:

1/y = 3/x - 5/2

y = 1 / (3/x - 5/2)

y = x / (3 - 5x/2)

Таким образом, частным решением данного дифференциального уравнения с начальным условием y(1) = 2 является функция:

y(x) = x / (3 - 5x/2)