Question

Решите дифференциальное уравнение 2dy = (1+x^2) dx , y=0 при x=0

Answer 1

Ответ:

$2dy = (1 + {x}^{2} )dx \\ 2\int\limits \: dy = \int\limits(1 + {x}^{2} )dx \\ 2y = x + \frac{ {x}^{3} }{3} + C \\ y = \frac{x}{2} + \frac{ {x}^{3} }{6} + C$

общее решение.

$y(0) = 0 \\ 0 = 0 + 0 + C \\ C = 0$

Частное решение:

$y = \frac{x}{2} + \frac{ {x}^{3} }{6}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных. Давайте начнем с разделения переменных и последовательно интегрируем обе стороны уравнения:

2dy = (1 + x^2)dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫2dy = ∫(1 + x^2)dx

Интеграл левой стороны:

2∫dy = 2y + C₁, где C₁ - постоянная интеграции.

Интеграл правой стороны:

∫(1 + x^2)dx = x + (x^3)/3 + C₂, где C₂ - также постоянная интеграции.

Теперь мы имеем:

2y + C₁ = x + (x^3)/3 + C₂

Чтобы найти C₁ и C₂, мы можем использовать начальные условия: y = 0 при x = 0. Подставим эти значения:

2 * 0 + C₁ = 0 + (0^3)/3 + C₂

C₁ = C₂

Теперь мы можем объединить постоянные интеграции:

2y + C₁ = x + (x^3)/3 + C₁

Теперь выразим y:

2y = x + (x^3)/3

Делаем y единственным предметом:

y = (x + (x^3)/3) / 2

Это является окончательным решением дифференциального уравнения.