Question

Даны четыре точки A ,A ,A ,A 1234 . Составить уравнения: а) Плоскости 123 (A A A ); б) Прямой A A1 2 ; в) Прямой A M4 , перпендикулярной к плоскости 123 (A A A ); г) Прямой A N3 , параллельной прямой A A1 2 ; Вычислить: д) Объем пирамиды AAAA 1234 ; е) Высоту, опущенную из вершины A4 на грань 123 (A A A ). 1. A1(1, 3, 6), A2(2, 2, 1), A3(-1, 0, 1), A4(-4, 6, -3);

Answer 1

Даны четыре точки: A1(1; 3; 6), A2(2; 2; 1), A3(-1; 0; 1), A4(-4; 6; -3).

Составить  уравнения:

а) Плоскости (A1 A2 A3 );

Находим векторы: А1А2 и А1А3.

А1А2 = (2-1; 2-3; 1-6) = (1; -1; -5).

А1А3 = (-1-1; 0-3; 1-6) = (-2; -3; -5).

Находим векторное произведение:

(x - 1)    (y - 3)    (z - 6)|      (x - 1)     (y - 3)

  1           -1             -5|          1             -1

-2          -3             -5|         -2            -3 = 5(x - 1) + 10(y - 3) - 3(z - 6) +

  + 5((y - 3) - 15(x - 1) - 2(z - 6) =

= 5x - 5 + 10y - 30 - 3z + 18 + 5y - 15 - 15x + 15 - 2z + 12 =

= -10x + 15y - 5z  - 5 = 0 или, сократив на (-5): 2x - 3y +z + 1 = 0.        

б) Прямой A1 A2. Вектор А1А2 =  (1; -1; -5) (см, п. а). Точка A1(1; 3; 6).

Уравнение А1А2: (x - 1)/1 = (y - 3)/(-1) = (z - 6)/(-5).

в) Прямой A1 M4 , перпендикулярной к плоскости (A1 A2 A 3).

Нормальный вектор n плоскости А1А2А3 2x - 3y +z + 1 = 0 - это направляющий вектор перпендикуляра к этой плоскости.

n = (2; -3; 1), точка A1(1; 3; 6).

Уравнение А1М4: (x - 1)/2 = ( y - 3)/(-3) = (z - 6)/1.

г) Прямой A N3 , параллельной прямой A1 A2.

Неизвестны координаты точки А, решение невозможно.

Вычислить:

д) Объем пирамиды A1A2A3А4.

V = (1/6)*|(A1A2xA1A3)*(A1A4)|.

Векторное произведение А1А2хА1А3 =  (-10; 15; -5) (см.п.а)

Находим вектор А1А4 = (-4-1; 6-3; -3-6) = (-5; 3; -9).

V = (1/6)*|(-10*(-5)+15*3+(-5)*(-9))| = 140/6 = (70/3) куб.ед.

е) Высоту, опущенную из вершины A4 на грань (A1 A2 A3 ).

H = 3V/S(A1A2A3).

Площадь грани А1A2A3 равна половине модуля векторного произведения А1А2 и А1А3

S(A1A2A3) = (1/2)√((-10)² + 15² + (-5)²) = (1/2)√(100+225+25) =

                 = (1/2)√350 = (5/2)√14 ≈ 9,354143.

Тогда H = 3*(70/3)/((5/2)√14) = 2√14 ≈ 7,483315.

Answer 2

Для начала, нам нужно найти векторы и координаты, которые будут использоваться для составления уравнений и решения задач.

а) Уравнение плоскости 123 (A1A2A3):

1. Найдем два вектора в плоскости 123: A1A2 и A1A3.

   • A1A2 = (2 - 1, 2 - 3, 1 - 6) = (1, -1, -5)
   • A1A3 = (-1 - 1, 0 - 3, 1 - 6) = (-2, -3, -5)

2. Теперь найдем векторное произведение этих векторов, чтобы найти вектор нормали к плоскости:

   • Нормальный вектор N = A1A2 × A1A3 = (1, -1, -5) × (-2, -3, -5)
   • N = [(1*(-5) - (-1)(-3)), (1(-5) - (-5)(-2)), (1(-3) - (-1)*(-2))]
   • N = (-2, 9, -1)

3. Теперь у нас есть нормальный вектор и одна из точек в плоскости (например, A1(1, 3, 6)), мы можем записать уравнение плоскости:

   • Уравнение плоскости: -2x + 9y - z + D = 0, где D - неизвестное значение.

4. Теперь, чтобы найти D, подставим координаты точки A1(1, 3, 6) в уравнение:

   • (-21) + (93) - 6 + D = 0
   • -2 + 27 - 6 + D = 0
   • 19 + D = 0
   • D = -19

Итак, уравнение плоскости 123 (A1A2A3) имеет вид: -2x + 9y - z - 19 = 0.

б) Уравнение прямой A1A2:

Уравнение прямой можно представить в параметрической форме, используя точку A1(1, 3, 6) как начальную точку и направляющий вектор A1A2(1, -1, -5):

x = 1 + t, y = 3 - t, z = 6 - 5t.

в) Прямая A4M4, перпендикулярная к плоскости 123 (A1A2A3):

Прямая, перпендикулярная к плоскости, будет иметь направляющий вектор равный нормальному вектору этой плоскости, то есть N = (-2, 9, -1).

У нас есть начальная точка A4(-4, 6, -3). Теперь мы можем записать уравнение прямой:

x = -4 - 2t, y = 6 + 9t, z = -3 - t.

г) Прямая A3N3, параллельная прямой A1A2:

Для прямой, параллельной A1A2, используем её направляющий вектор (1, -1, -5). Мы также имеем начальную точку A3(-1, 0, 1). Теперь мы можем записать уравнение прямой:

x = -1 + t, y = -t, z = 1 - 5t.

д) Объем пирамиды AAAA1234:

Объем пирамиды можно найти с помощью формулы:

V = (1/3) * S * h,

где S - площадь основания пирамиды (грани 123), h - высота пирамиды (расстояние от вершины A4 до плоскости 123).

Сначала найдем площадь основания (грани 123):

S = (1/2) * |A1A2 × A1A3|,

где |A1A2 × A1A3| - модуль векторного произведения.

Мы уже нашли нормальный вектор к плоскости 123, который равен N = (-2, 9, -1). Теперь найдем его модуль:

|N| = √((-2)^2 + 9^2 + (-1)^2) = √(4 + 81 + 1) = √86.

Теперь найдем площадь основания:

S = (1/2) * √86.

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Высота - это расстояние от вершины A4 до плоскости 123. Для этого мы можем использовать формулу для расстояния между точкой и плоскостью:

h = |N * (A4 - A1)| / |N|,

где N - нормальный вектор к плоскости 123, A4 - координаты точки A4, A1 - координаты одной из точек в плоскости (например, A1).

h = |(-2, 9, -1) * ((-4, 6, -3) - (1, 3, 6))| / √86 h = |(-2, 9, -1) * (-5, 3, -9)| / √86 h = |(-10 - 27 + 9) / √86 h = |-28 / √86 h = -28√86 / 86

Теперь мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * S * h V = (1/3) * (1/2) * √86 * (-28√86 / 86) V = (-14√86 / 86) * (-28√86 / 86) V = (14 * 28 * 86) / (86 * 86) V = 54872 / 7396 V = 7.41 (округлено до двух десятичных знаков).

е) Высоту, опущенную из вершины A4 на грань 123 (A1A2A3):

Мы уже вычислили высоту h в предыдущем ответе, которая равна h = -28√86 / 86. Эта высота и есть высота, опущенная из вершины A4 на грань 123.