Question

Приведите пример задачи оптимального управления для одного ДУ с одним управлением и функционалом качества, для этого примера составить функцию Понтрягина Срочно!​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Конечно, вот пример задачи оптимального управления для дифференциального уравнения с одним управлением и функционалом качества:

Задача: Рассмотрим механическую систему, описываемую дифференциальным уравнением:

$\dot{y} = u$

где $y$ - состояние системы, $\dot{y}$ - производная по времени состояния $y$, $u$ - управляющий сигнал.

Функционал качества, который мы хотим оптимизировать, может быть определен следующим образом:

$J(u) = \int_{0}^{T} (y^2 + u^2) dt$

где $T$ - конечное время, на котором мы хотим оптимизировать систему.

Теперь, чтобы составить функцию Понтрягина для этой задачи оптимального управления, нам нужно воспользоваться следующим уравнением:

$\frac{dH}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial y} \dot{y} - \frac{\partial H}{\partial u} u$

где $H$ - функция Гамильтонана, которая определяется как:

$H(y,u,\lambda,t) = y^2 + u^2 + \lambda(u - \dot{y})$

$\lambda$ - множитель Лагранжа, который мы введем в функцию Понтрягина.

Теперь дифференцируем $H$ по времени $t$:

$\frac{dH}{dt} = 2y\dot{y} + 2u\dot{u} + \lambda(u - \dot{y}) - \dot{\lambda}(u - \dot{y})$

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение для функции Понтрягина:

$\frac{dH}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial y} \dot{y} - \frac{\partial H}{\partial u} u$

$2y\dot{y} + 2u\dot{u} + \lambda(u - \dot{y}) - \dot{\lambda}(u - \dot{y}) = -\lambda u - 2u\dot{u}$

Упрощая это уравнение, получаем:

$2y\dot{y} + \lambda(u - \dot{y}) - \dot{\lambda}(u - \dot{y}) = -3u\dot{u}$

Это уравнение функции Понтрягина для данной задачи оптимального управления. Решение этой задачи оптимального управления будет состоять из оптимальной траектории состояния $y(t)$, оптимальной траектории управления $u(t)$ и соответствующей оптимальной траектории множителя Лагранжа $\lambda(t)$, удовлетворяющих этому уравнению вместе с начальными и конечными условиями.