Question

Найти y',если y=(x)^ln4x

Answer 1

Пошаговое объяснение:

На фото.............

Answer 2

Для нахождения производной y'(x) функции y(x) = x^(ln(4x)) сначала применим правило степенной функции и правило логарифмической производной. Давайте это сделаем пошагово:

1. Правило степенной функции: (x^n)' = n*x^(n-1), где n - константа.

2. Правило логарифмической производной: (ln(u))' = (u'/u), где u - функция от x.

Для нашей функции y(x) = x^(ln(4x)) применим эти правила:

y(x) = x^(ln(4x))

Сначала возьмем натуральный логарифм от обеих сторон:

ln(y) = ln(x^(ln(4x)))

Теперь используем правило степенной функции и правило логарифмической производной:

ln(y) = ln(4x) * ln(x)

Теперь продифференцируем обе стороны по x:

(ln(y))' = [(ln(4x) * ln(x))]' (ln(y))' = [ln(4x)]' * ln(x) + ln(4x) * [ln(x)]'

Теперь найдем производные:

(ln(y))' = (1/x) * ln(x) + ln(4x) * (1/x)

Теперь у нас есть производная ln(y) по x. Чтобы найти производную y'(x), давайте вернемся к исходной функции y(x) и продифференцируем ее:

ln(y) = (1/x) * ln(x) + ln(4x) * (1/x)

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

y = e^[(1/x) * ln(x) + ln(4x) * (1/x)]

Теперь используем правило производной экспоненты:

y'(x) = e^[(1/x) * ln(x) + ln(4x) * (1/x)] * [(1/x) * ln(x) + ln(4x) * (1/x)]'

Теперь продифференцируем правую сторону:

y'(x) = e^[(1/x) * ln(x) + ln(4x) * (1/x)] * [(1/x) * ln(x) + ln(4x) * (1/x)]'

Используя правило производной произведения, мы получаем:

y'(x) = e^[(1/x) * ln(x) + ln(4x) * (1/x)] * [(1/x)' * ln(x) + (1/x) * (ln(x))' + (1/x)' * ln(4x) + (1/x) * (ln(4x))']

Теперь вычислим производные:

(1/x)' = -1/x^2 (ln(x))' = 1/x (1/x)' = -1/x^2 (ln(4x))' = (1/4x) * 4 = 1/x

Подставляем значения обратно в уравнение:

y'(x) = e^[(1/x) * ln(x) + ln(4x) * (1/x)] * [(-1/x^2) * ln(x) + (1/x) * (1/x) + (-1/x^2) * ln(4x) + (1/x) * (1/x)]

y'(x) = e^[(1/x) * ln(x) + ln(4x) * (1/x)] * [(-ln(x)/x^2) + (1/x^2) + (-ln(4x)/x^2) + (1/x^2)]

Теперь можно упростить это выражение:

y'(x) = e^[(1/x) * ln(x) + ln(4x) * (1/x)] * [(-ln(x) - ln(4x) + 2)/x^2]

y'(x) = e^[(1/x) * ln(x) + ln(4x) * (1/x)] * [(-ln(x) - ln(4x) + 2)/x^2]

Теперь у нас есть производная y'(x) для функции y(x) = x^(ln(4x)).