Question

Помогите пожалуйста решить дифференциальные уравнения 1. (1+4x^2)dy=(√2)+ydx 2. (2y-x)dx=(3x+y)dy 3.y'+ytgx=1/cosx

Answer 1

Ответ:

1.

$(1 + 4 {x}^{2} )dy = \sqrt{2 + y} dx \\ \int\limits \frac{dy}{ \sqrt{2 + y} } = \int\limits \frac{dx}{1 + 4 {x}^{2} } \\ \int\limits {(2 + y)}^{ - \frac{1}{2} } d(2 + y) = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(2x)}{ {(2x)}^{2} + 1 } \\ \frac{ {(y + 2)}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } = \frac{1}{2} \times arctg(2x) + C \\ 2 \sqrt{y + 2} = \frac{1}{2} arctg(2x) + C\\ \sqrt{y + 2} = \frac{1}{4} arctg(2x) + C$

общее решение

2.

$(2y - x)dx = (3x + y)dy$

разделим на х

$y'(3 + \frac{y}{x} ) = (2 \frac{y}{x} - 1)$

замена:

$\frac{y}{x} = U \\ y' = U'x + U$

$(U'x + U)(3 + U) = (2U - 1) \\ U'x + U= \frac{2U- 1}{3 + U} \\ \frac{dU}{dx} x = \frac{2U - 1 - U(3 + U)}{3 + U} \\ \frac{dU}{dx} x = \frac{2U - 1 - 3U - {U}^{2} }{3 + U} = \frac{ - {U}^{2} - U - 1}{3 + U} \\ \int\limits \frac{3 + U}{ - {u}^{2} - u - 1 } du = \int\limits \frac{dx}{x} \\ - \int\limits \frac{3 +U }{ { U}^{2} +U + 1} = ln(x) + C\\ - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2U + 6}{ {U}^{2} +U + 1 } dU = ln(x) + C \\ - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2U+ 1 + 5}{ {U}^{2} + U+ 1} dU= ln(x) + C\\ - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2U + 1}{ { U}^{2} + U + 1}dU - \frac{5}{2} \int\limits \frac{dU}{ {U}^{2} + U + 1} = ln(x) + C$

выделим квадрат:

${U}^{2} + U + 1 = \\ = {U}^{2} + 2 \times U \times \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \\ = {(U + \frac{1}{2}) }^{2} + {( \frac{ \sqrt{3} }{2} )}^{2}$

$- \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {U}^{2} + U+ 1)}{ {U}^{2} + U + 1} - \frac{5}{2} \int\limits \frac{d(U + \frac{1}{2}) }{ {(U+ \frac{1}{2}) }^{2} + {( \frac{ \sqrt{3} }{2} )}^{2} } = ln(x) + C \\ - \frac{1}{2} ln( {U}^{2} + u + 1) - \frac{5}{2} \times \frac{2}{ \sqrt{3} } arctg( \frac{U + \frac{1}{2} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } ) = ln(x) + C \\ ln( {u}^{2} + U + 1) + \frac{10}{ \sqrt{3} } arctg( \frac{2U + 1}{ \sqrt{3} } ) = - 2ln(x) - 2 C\\ ln( \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } + \frac{y}{x} + 1) + \frac{10}{ \sqrt{3} } arctg( \frac{ \frac{2y}{x} + 1}{ \sqrt{3} } ) = - 2 ln(x) - C$

общее решение

3.

$y' + ytgx = \frac{1}{ \cos(x) }$

замена:

$y = UV \\ y' = U'V + V'U$

$U'V + V'U + UVtgx = \frac{1}{ \cos(x) } \\ U'V + U(V'+ Vtgx) = \frac{1}{ \cos(x) } \\ \\ 1)V' + Vtgx = 0 \\ \frac{dV}{dx} = - Vtgx \\ \int\limits \frac{dV}{V} = - \int\limits \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } dx \\ ln(V) = \int\limits \frac{d( \cos(x)) }{ \cos(x) } \\ ln(V) = ln( \cos(x) ) \\ V= \cos(x)$

$U'V = \frac{1}{ \cos(x) } \\ \frac{dU}{dx} \times \cos(x) = \frac{1}{ \cos(x) } \\ \int\limits \: dU = \int\limits\frac{1}{ { \cos }^{2} x} dx \\ U = tgx + C$

$y = \cos(x) (tgx + C) \\ y = \sin(x) + C\cos(x)$

общее решение

Answer 2

Давайте решим эти дифференциальные уравнения по очереди:

1. $(1+4x^2)dy = (\sqrt{2}+y)dx$

Сначала выразим dy/dx:

$dy/dx = (\sqrt{2}+y)/(1+4x^2)$

Теперь разделим переменные:

$(1+4x^2)dy = (\sqrt{2}+y)dx$

$(1+4x^2)dy = \sqrt{2}dx + ydx$

$(1+4x^2)dy - ydx = \sqrt{2}dx$

Теперь интегрируем обе стороны:

$\int (1+4x^2)dy - \int ydx = \int \sqrt{2}dx$

$y + \frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{2}y^2 = \sqrt{2}x + C$

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

2. $(2y-x)dx = (3x+y)dy$

Сначала выразим dy/dx:

$dy/dx = (2y-x)/(3x+y)$

Теперь разделим переменные:

$(2y-x)dx = (3x+y)dy$

Теперь интегрируем обе стороны:

$\int (2y-x)dx = \int (3x+y)dy$

$y - x^2 + C_1 = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2 + C_2$

$x^2 - \frac{1}{2}y^2 - y + x^2 - C_1 + C_2 = 0$

$2x^2 - \frac{1}{2}y^2 - y + C = 0$

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

3. $y' + y \tan(x) = \frac{1}{\cos(x)}$

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Первым шагом найдем интегрирующий множитель (μ):

$\mu(x) = e^{\int \tan(x) dx} = e^{-\ln|\cos(x)|} = \frac{1}{|\cos(x)|}$

Теперь умножим обе стороны уравнения на μ(x):

$\frac{1}{|\cos(x)|} (y' + y \tan(x)) = \frac{1}{|\cos(x)|} \frac{1}{\cos(x)}$