Question

Помогите пожалуйста решить дифференциальные уравнения 1. (1+4x^2)dy=(√2)+ydx 2. (2y-x)dx=(3x+y)dy 3.y'+ytgx=1/cosx

Answer 1

Ответ:

1.

$(1 + 4 {x}^{2} )dy = \sqrt{2 + y} dx \\ \int\limits \frac{dy}{ \sqrt{2 + y} } = \int\limits \frac{dx}{1 + 4 {x}^{2} } \\ \int\limits {(2 + y)}^{ - \frac{1}{2} } d(2 + y) = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(2x)}{ {(2x)}^{2} + 1 } \\ \frac{ {(y + 2)}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } = \frac{1}{2} \times arctg(2x) + C \\ 2 \sqrt{y + 2} = \frac{1}{2} arctg(2x) + C\\ \sqrt{y + 2} = \frac{1}{4} arctg(2x) + C$

общее решение

2.

$(2y - x)dx = (3x + y)dy$

разделим на х

$y'(3 + \frac{y}{x} ) = (2 \frac{y}{x} - 1)$

замена:

$\frac{y}{x} = U \\ y' = U'x + U$

$(U'x + U)(3 + U) = (2U - 1) \\ U'x + U= \frac{2U- 1}{3 + U} \\ \frac{dU}{dx} x = \frac{2U - 1 - U(3 + U)}{3 + U} \\ \frac{dU}{dx} x = \frac{2U - 1 - 3U - {U}^{2} }{3 + U} = \frac{ - {U}^{2} - U - 1}{3 + U} \\ \int\limits \frac{3 + U}{ - {u}^{2} - u - 1 } du = \int\limits \frac{dx}{x} \\ - \int\limits \frac{3 +U }{ { U}^{2} +U + 1} = ln(x) + C\\ - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2U + 6}{ {U}^{2} +U + 1 } dU = ln(x) + C \\ - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2U+ 1 + 5}{ {U}^{2} + U+ 1} dU= ln(x) + C\\ - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2U + 1}{ { U}^{2} + U + 1}dU - \frac{5}{2} \int\limits \frac{dU}{ {U}^{2} + U + 1} = ln(x) + C$

выделим квадрат:

${U}^{2} + U + 1 = \\ = {U}^{2} + 2 \times U \times \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \\ = {(U + \frac{1}{2}) }^{2} + {( \frac{ \sqrt{3} }{2} )}^{2}$

$- \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {U}^{2} + U+ 1)}{ {U}^{2} + U + 1} - \frac{5}{2} \int\limits \frac{d(U + \frac{1}{2}) }{ {(U+ \frac{1}{2}) }^{2} + {( \frac{ \sqrt{3} }{2} )}^{2} } = ln(x) + C \\ - \frac{1}{2} ln( {U}^{2} + u + 1) - \frac{5}{2} \times \frac{2}{ \sqrt{3} } arctg( \frac{U + \frac{1}{2} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } ) = ln(x) + C \\ ln( {u}^{2} + U + 1) + \frac{10}{ \sqrt{3} } arctg( \frac{2U + 1}{ \sqrt{3} } ) = - 2ln(x) - 2 C\\ ln( \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } + \frac{y}{x} + 1) + \frac{10}{ \sqrt{3} } arctg( \frac{ \frac{2y}{x} + 1}{ \sqrt{3} } ) = - 2 ln(x) - C$

общее решение

3.

$y' + ytgx = \frac{1}{ \cos(x) }$

замена:

$y = UV \\ y' = U'V + V'U$

$U'V + V'U + UVtgx = \frac{1}{ \cos(x) } \\ U'V + U(V'+ Vtgx) = \frac{1}{ \cos(x) } \\ \\ 1)V' + Vtgx = 0 \\ \frac{dV}{dx} = - Vtgx \\ \int\limits \frac{dV}{V} = - \int\limits \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } dx \\ ln(V) = \int\limits \frac{d( \cos(x)) }{ \cos(x) } \\ ln(V) = ln( \cos(x) ) \\ V= \cos(x)$

$U'V = \frac{1}{ \cos(x) } \\ \frac{dU}{dx} \times \cos(x) = \frac{1}{ \cos(x) } \\ \int\limits \: dU = \int\limits\frac{1}{ { \cos }^{2} x} dx \\ U = tgx + C$

$y = \cos(x) (tgx + C) \\ y = \sin(x) + C\cos(x)$

общее решение

Answer 2

Конечно, давайте решим эти дифференциальные уравнения по очереди:

1. $(1+4x^2)dy = (\sqrt{2}+y)dx$

Для начала, давайте разделим обе стороны уравнения на $(1 + 4x^2)$:

$\frac{dy}{1+4x^2} = \frac{\sqrt{2}+y}{1+4x^2}dx$

Теперь давайте разделим переменные, переместив $dy$ и $dx$ на разные стороны уравнения:

$\frac{dy}{\sqrt{2}+y} = \frac{dx}{1+4x^2}$

Теперь мы можем решить это уравнение, воспользовавшись методом разделения переменных:

$\int \frac{1}{\sqrt{2}+y} dy = \int \frac{1}{1+4x^2} dx$

Сначала проинтегрируем левую сторону:

$\int \frac{1}{\sqrt{2}+y} dy = \ln|y+\sqrt{2}| + C_1$

А теперь проинтегрируем правую сторону. Для этого сначала сделаем замену переменной $u = 2x$, $du = 2dx$:

$\int \frac{1}{1+4x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+(2x)^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+u^2} du$

Это стандартный интеграл для арктангенса:

$\frac{1}{2} \arctan(u) + C_2$

Теперь возвращаемся к переменной $x$:

$\frac{1}{2} \arctan(2x) + C_2$

Теперь у нас есть:

$\ln|y+\sqrt{2}| + C_1 = \frac{1}{2} \arctan(2x) + C_2$

Мы можем объединить константы $C_1$ и $C_2$ в одну константу $C$:

$\ln|y+\sqrt{2}| = \frac{1}{2} \arctan(2x) + C$

Теперь можно избавиться от логарифма, возведя обе стороны в экспоненту:

$|y+\sqrt{2}| = e^{(\frac{1}{2} \arctan(2x) + C)}$

Так как экспонента всегда положительна, можно убрать модуль:

$y+\sqrt{2} = \pm e^{(\frac{1}{2} \arctan(2x) + C)}$