Question

Пожалуйста, помогите решить уравнение: (cos^2)(2x)+(cos^2)(4x)=1+cos(8x)

Answer 1

Ответ:

$\pm \dfrac{\pi }{6} +\dfrac{\pi n}{2} , ~n\in\mathbb {Z};$      $\dfrac{\pi k}{2} ,~k\in\mathbb {Z}.$

Пошаговое объяснение:

$></p> <p>Применим формулу косинуса двойного угла </p> <p><img src=$

$cos^{2} 2x+cos^{2} 4x=1+cos^{2} 4x-sin^{2}4x;\\ \\cos^{2} 2x+cos^{2} 4x=2cos^{2}4x; \\\\cos^{2} 2x+cos^{2} 4x-2cos^{2}4x=0;\\\\cos^{2} 2x-cos^{2} 4x=0|\cdot 2 ;\\\\2cos^{2} 2x-2cos^{2} 4x=0;\\\\1+cos4x -2cos^{2} 4x=0|\cdot(-1);\\\\2cos^{2} 4x-cos4x-1=0$

Пусть $cos4x=t, |t|\leq 1$

Тогда уравнение принимает вид:

$2t^{2} -t-1=0;\\D=(-1)^{2} -4\cdot2\cdot(-1) =1+8=9=3^{2} ;\\t{_1}= \dfrac{1-3}{2\cdot2} =\dfrac{-2}{4} =-\dfrac{1}{2} ;\\\\t{_2}= \dfrac{1+3}{2\cdot2} =\dfrac{4}{4} =1.$

Тогда получим

$1) cos4x=- \dfrac{1}{2} ;\\\\4x= \pm \dfrac{2\pi }{3} +2\pi n, ~n\in\mathbb {Z};\\\\x=\pm \dfrac{\pi }{6} +\dfrac{\pi n}{2} , ~n\in\mathbb {Z}$

$2) cos4x=1;\\4x=2\pi k,~k\in\mathbb {Z};\\x= \dfrac{\pi k}{2} ,~k\in\mathbb {Z}$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение. Сначала преобразуем его с использованием тригонометрических тождеств:

$$\begin{align*} \cos^2(2x) + \cos^2(4x) &= 1 + \cos(8x) \\ \cos^2(2x) + (1 - \sin^2(4x)) &= 1 + \cos(8x) \quad \text{используем тождество } \cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) \\ \cos^2(2x) + 1 - \sin^2(4x) &= 1 + \cos(8x). \end{align*}$$

Теперь выразим $\cos(8x)$ через $\cos(2x)$ и $\sin(4x)$, используя тригонометрическое тождество $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta)$:

$$\cos(8x) = 1 - 2\sin^2(4x).$$

Подставим это обратно в уравнение:

$$\cos^2(2x) + 1 - \sin^2(4x) = 1 + 1 - 2\sin^2(4x).$$

Теперь у нас есть:

$$\cos^2(2x) - 2\sin^2(4x) = 0.$$

Теперь используем тригонометрические тождества $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$ и $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$, чтобы выразить $\cos^2(2x)$ и $\sin^2(4x)$ через $\sin(4x)$:

$$(2\cos^2(x) - 1) - 2\sin^2(2x) = 0.$$

Теперь заменим $\sin^2(2x)$ на $(1 - \cos^2(2x))$:

$$2\cos^2(x) - 1 - 2(1 - \cos^2(2x)) = 0.$$

Упростим это уравнение:

$$2\cos^2(x) - 1 - 2 + 2\cos^2(2x) = 0.$$

Теперь у нас есть уравнение с двумя переменными $\cos(x)$ и $\cos(2x)$. Мы можем решить его, заменив $\cos(2x)$ на $2\cos^2(x) - 1$:

$$2\cos^2(x) - 1 - 2 + 2(2\cos^2(x) - 1) = 0.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$2\cos^2(x) - 1 - 4 + 4\cos^2(x) - 2 = 0.$$

Сгруппируем члены:

$$6\cos^2(x) - 3 = 0.$$

Теперь разделим обе стороны на 3:

$$2\cos^2(x) - 1 = 0.$$

Добавим 1 к обеим сторонам:

$$2\cos^2(x) = 1.$$

Теперь разделим на 2:

$$\cos^2(x) = \frac{1}{2}.$$

Извлекаем корень и получаем два возможных значения $\cos(x)$:

$$\cos(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$$