Question

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=4x³+x²-2x-6​

Answer 1

Дана функция f(x)=4x³+x²-2x-6​.

Её производная равна: y' = 12x²+2x-2.

Приравняем производную нулю: ​12x²+2x-2 = 0,  2(6x²+x-1) = 0.

Д = 1+24 = 25, х1 = (-1-5)/12 = -1/2, х2 = (-1 + 5)/12 = 4/12 = 1/3.

Найдены 2 критические точки: х1 = (-1/2) и х2 =(1/3).

Находим значения производной на полученных промежутках:

х ∈      ( -∞;(-1/2) )              ((-1/2);(1/3))                       ((1/3);+∞).

х =             -1           (-1/2)             0            ( 1/3)               1      

y' =             8            0                -2                0                12.

Ф_ция        ↑          max            ↓               min               ↑

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

                   

Answer 2

Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции f(x) = 4x³ + x² - 2x - 6, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f(x).
2. Решите уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки.
3. Исследуйте знак производной в интервалах между критическими точками, чтобы найти промежутки монотонности.
4. Определите экстремумы, проверив знак второй производной f''(x) в точках перегиба.

Начнем с первого шага:

1. Найдем производную f(x): f'(x) = 12x² + 2x - 2

2. Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки: 12x² + 2x - 2 = 0

   Для упрощения уравнения, разделим все его члены на 2: 6x² + x - 1 = 0

   Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = b² - 4ac D = 1 - 4(6)(-1) D = 1 + 24 D = 25

   Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x₁ = (-b + √D) / (2a) x₁ = (-1 + √25) / (2 * 6) x₁ = (-1 + 5) / 12 x₁ = 4 / 12 x₁ = 1/3

   x₂ = (-b - √D) / (2a) x₂ = (-1 - √25) / (2 * 6) x₂ = (-1 - 5) / 12 x₂ = -6 / 12 x₂ = -1/2

   Таким образом, у нас есть две критические точки: x₁ = 1/3 и x₂ = -1/2.

3. Теперь найдем промежутки монотонности, проверив знак производной f'(x) в интервалах между критическими точками:

   • Берем произвольную точку из каждого интервала и подставляем ее в f'(x):

   Для интервала (-бесконечность, -1/2), возьмем x = -1:

   f'(-1) = 12(-1)² + 2(-1) - 2 = 12 - 2 - 2 = 8 - 2 = 6

   Значение производной положительно в этом интервале.

   Для интервала (-1/2, 1/3), возьмем x = 0:

   f'(0) = 12(0)² + 2(0) - 2 = 0 - 0 - 2 = -2

   Значение производной отрицательно в этом интервале.

   Для интервала (1/3, +бесконечность), возьмем x = 1:

   f'(1) = 12(1)² + 2(1) - 2 = 12 + 2 - 2 = 12

   Значение производной положительно в этом интервале.

   Таким образом, функция монотонно возрастает на интервалах (-бесконечность, -1/2) и (1/3, +бесконечность), и монотонно убывает на интервале (-1/2, 1/3).

4. Теперь определим экстремумы, проверив знак второй производной f''(x) в точках перегиба.

   Найдем вторую производную: f''(x) = 24x + 2

   Теперь подставим критические точки x₁ = 1/3 и x₂ = -1/2 во вторую производную:

   f''(1/3) = 24(1/3) + 2 = 8 + 2 = 10

   f''(-1/2) = 24(-1/2) + 2 = -12 + 2 = -10

   Значение второй производной положительно при x = 1/3, и отрицательно при x = -1/2.

   Таким образом, у нас есть локальный минимум при x = 1/3 и локальный максимум при x = -1/2.

Итак, промежутки монотонности и экстремумы функции f(x) = 4x³ + x² - 2x - 6:

• Функция монотонно возрастает на интервалах (-бесконечность, -1/2) и (1/3, +бесконечность).
• Функция монотонно убывает на интервале (-1/2, 1/3).
• Есть локальный минимум при x = 1/3.
• Есть локальный максимум при x = -1/2.