Question

Y=x^3-9/2*x^2+6x-2 помогите найти 1) область определения 2) выяснить не является ли функция четной, нечетной или периодичной, 3) найти точки пересечения графика с осями координат если они есть 4) найти асимптоты графика функции, 5) найти промежутки монотонности и ее экстремумы, 6) найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции 7) построить график используя полученные результаты исследования

Answer 1

ДАНО
Y = x³ - 4.5*x²+6x-2.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ.
1. Область определения - R -  все действительные.
Или  Х∈(-∞,+∞) - непрерывная. Разрывов нет.
2. Пересечение с осью абсцисс - ось Х -
х1 =  1/2 и х2 = 2
3. Пересечение с осью ординат - ось У - У(0) = 2.
4. Поведение в бесконечности.
Y(-∞) = -∞,  Y(+∞) = +∞.
5. Исследование на четность.
Y(-x) ≠ Y(x) - функция ни четная ни нечетная.
6. Производная функции
Y' = 3x²-9x+6 = 3*(x-1)(x-2). Корни - х1= 1 и х2 = 2.
7. Монотонность.
Возрастает - Х∈(-∞,1]
Максимум - Y(1) = 1/2 = 0.5
Убывает - Х∈[-1.2]
Минимум - Y(2) = 0
Возрастает - Х∈[2.+∞)
8. Вторая производная
Y" = 6x - 9
9. Точка перегиба - Y"=0 при X= 2/3.
10. Построение графика - в приложении.

Answer 2

Данная функция имеет вид:

Y = x^3 - (9/2)x^2 + 6x - 2

1) Область определения функции:

Область определения функции - это множество значений x, для которых функция определена. В данном случае, функция определена для всех значений x.

2) Определение четности, нечетности и периодичности функции:

- Четность функции: Функция является четной, если выполняется условие f(x) = f(-x) для всех x из области определения. В нашем случае, чтобы определить, является ли функция четной, мы заменяем x на -x и сравниваем значения функции. Если значения равны, то функция является четной. В данном случае, заменяя x на -x, получим: f(-x) = (-x)^3 - (9/2)(-x)^2 + 6(-x) - 2 = -x^3 - (9/2)x^2 - 6x - 2 Если сравнить это с исходной функцией f(x), можно увидеть, что они не равны. Значит, функция не является четной.

- Нечетность функции: Функция является нечетной, если выполняется условие f(x) = -f(-x) для всех x из области определения. В нашем случае, чтобы определить, является ли функция нечетной, мы заменяем x на -x и сравниваем значения функции. Если значения равны с противоположным знаком, то функция является нечетной. В данном случае, заменяя x на -x, получим: -f(-x) = -(-x)^3 + (9/2)(-x)^2 - 6(-x) + 2 = -(-x^3) + (9/2)x^2 + 6x + 2 = x^3 + (9/2)x^2 + 6x + 2 Если сравнить это с исходной функцией f(x), можно увидеть, что они не равны с противоположным знаком. Значит, функция не является нечетной.

- Периодичность функции: Функция является периодической, если существует такое значение T (T ≠ 0), для которого выполняется условие f(x) = f(x + T) для всех x из области определения. В данном случае, чтобы определить, является ли функция периодической, мы должны найти такое значение T, для которого выполняется данное условие. Однако, из вида функции видно, что она не обладает периодическим характером.

3) Точки пересечения графика с осями координат:

- Чтобы найти точки пересечения графика с осью OX (ось абсцисс), необходимо решить уравнение f(x) = 0. В данном случае, мы должны решить уравнение: x^3 - (9/2)x^2 + 6x - 2 = 0 Для этого можно использовать различные методы решения уравнений, такие как графический метод, метод подбора, метод декомпозиции и т.д.

- Чтобы найти точки пересечения графика с осью OY (ось ординат), необходимо вычислить значение функции при x = 0. В данном случае, вычисляем значение функции при x = 0: f(0) = 0^3 - (9/2)0^2 + 6(0) - 2 = -2 Таким образом, точка пересечения графика с осью OY имеет координаты (0, -2).

4) Асимптоты графика функции:

- Горизонтальные асимптоты: Горизонтальная асимптота - это горизонтальная прямая, которая приближается к графику функции, когда x стремится к бесконечности или отрицательной бесконечности. Чтобы найти горизонтальные асимптоты, необходимо рассмотреть пределы функции при x стремящемся к плюс и минус бесконечности. Предел функции при x стремящемся к плюс бесконечности: lim(x->+∞) (x^3 - (9/2)x^2 + 6x - 2) = +∞ Предел функции при x стремящемся к минус бесконечности: lim(x->-∞) (x^3 - (9/2)x^2 + 6x - 2) = -∞ Таким образом, у функции нет горизонтальных асимптот.

- Вертикальные асимптоты: Вертикальная асимптота - это вертикальная прямая, которая приближается к графику функции, когда x принимает определенное значение (обычно значение, при котором функция не определена). Чтобы найти вертикальные асимптоты, необходимо найти значения x, при которых функция не определена или имеет разрывы в определении. В данном случае, функция не имеет вертикальных асимптот.

5) Промежутки монотонности и экстремумы:

- Чтобы найти промежутки монотонности функции, необходимо найти производную функции и определить ее знаки на различных интервалах. Для этого найдем производную функции Y: Y' = 3x^2 - 9x + 6 Затем, найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение: 3x^2 - 9x + 6 = 0 Решив это уравнение, получим две критические точки: x = 1 и x = 2.

Теперь, чтобы определить промежутки монотонности функции, мы можем использовать тестирование знаков производной на различных интервалах: - Если Y' > 0 на интервале, то функция возрастает на этом интервале. - Если Y' < 0 на интервале, то функция убывает на этом интервале.

Подставляя значения между критическими точками и за пределами, мы можем определить промежутки монотонности функции: - Промежуток монотонности (-∞, 1): Функция убывает на этом промежутке. - Промежуток монотонности (1, 2): Функция возрастает на этом промежутке. - Промежуток монотонности (2, +∞): Функция убывает на этом промежутке.

Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти значения функции в критических точках и на концах промежутков монотонности: - В точке x = 1: f(1) = 1^3 - (9/2)(1)^2 + 6(1) - 2 = -1.5 - В точке x