Question

Найдите производную функции: 1)y=(2x^2+3x)/((x^2)-4); 2)y=(x-1)/(√x)

Answer 1

Ответ:

$1)y = \frac{(2 {x}^{2} + 3x)}{(( {x}^{2}) - 4) } \\ y = \frac{(2 {x}^{2} + 3x)( {x}^{2} - 4) - (2 {x}^{2} + 3x) \times ( {x}^{2} - 4)}{( {x}^{2} - 4 {)}^{2} } \\ y = \frac{(2 \times 2x + 3)( {x}^{2} - 4) - (2 {x}^{2} + 3x) \times 2x }{( {x}^{2} - 4 {)}^{2} } \\ y = \frac{ - 3 {x}^{2} - 16x - 12 }{( {x}^{2} - 4 {)}^{2} } \\ 2)y = \frac{(x - 1)}{( \sqrt{x}) } \\ y = \frac{(x - 1) \times \sqrt{x} - (x - 1) \times ( \sqrt{x}) }{ \sqrt{x} {}^{2} } \\ y = \frac{1 \sqrt{x} - (x - 1) \times \frac{1}{2 \sqrt{x} } }{ \sqrt{x} {}^{2} } \\ y = \frac{x + 1}{2x \sqrt{x} }$

Answer 2

Для нахождения производных этих функций, мы можем использовать правила дифференцирования. Давайте начнем с каждой функции по очереди:

1. y = (2x^2 + 3x) / (x^2 - 4)

Для этой функции используем правило частного дифференцирования:

y' = [(производная числителя) * (знаменатель) - (числитель) * (производная знаменателя)] / (знаменатель)^2

Найдем производные числителя и знаменателя:

Числитель: (2x^2 + 3x)' Числитель: (2x^2)' + (3x)' Числитель: 4x + 3

Знаменатель: (x^2 - 4)' Знаменатель: (x^2)' - (4)' Знаменатель: 2x - 0 Знаменатель: 2x

Теперь подставим эти производные в формулу для y':

y' = [(4x + 3) * (2x) - (2x^2 + 3x) * (2x)] / (2x)^2

y' = (8x^2 + 6x - 4x^3 - 6x) / (4x^2)

Теперь упростим выражение:

y' = (8x^2 - 4x^3) / (4x^2)

y' = 2x^2(4 - 2x)

Итак, производная функции y равна:

y' = 2x^2(4 - 2x)

2. y = (x - 1) / √x

Для этой функции также используем правило частного дифференцирования:

y' = [(производная числителя) * (знаменатель) - (числитель) * (производная знаменателя)] / (знаменатель)^2

Найдем производные числителя и знаменателя:

Числитель: (x - 1)' Числитель: 1 - 0 Числитель: 1

Знаменатель: √x Знаменатель: x^(1/2)

Теперь подставим эти производные в формулу для y':

y' = [(1) * (x^(1/2)) - (x - 1) * (1/2) * x^(-1/2)] / (x^(1/2))^2

y' = [x^(1/2) - (x - 1) * (1/2) * x^(-1/2)] / x

y' = [x^(1/2) - (x^(1/2) - x^(1/2) * (1/2))] / x

y' = [x^(1/2) - x^(1/2) + (x^(1/2) * (1/2))] / x

Упростим:

y' = (x^(1/2) * (1/2)) / x

y' = (1/2) * (x^(1/2) / x)

Теперь можно упростить еще дальше:

y' = (1/2) * (1 / x^(1/2))

y' = 1 / (2x^(1/2))

Итак, производная функции y равна:

y' = 1 / (2√x)