Question

Найти частной решение неполного дифференциального уравнения II порядка. s''=12t-2 s=4, s'=2, при t=1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

s''=12t-2 s=4, s'=2, при t=1

перепишу условие

s''=12t-2    s(1)'=2,     s(1)=4,

∫s(t)'' dt = ∫(12t-2) dt

s(t)' = 6t² -2t +C₁;      s(1)'=2 ⇒2 = 6*1² - 2*1 + C₁ ⇒ C₁ = -2

s(t)' = 6t² -2t - 2

∫s(t)' dt = ∫(6t² -2t - 2)dt;  

s = 2t³ -t²-2t + C₂;   s(1)=4  ⇒ 4 = 2*1³ -1³ -2*1 +C₂;  ⇒ C₂ = 5

s(t) = 2t³ -t² -2t + 5

Answer 2

Чтобы найти частное решение данного неполного дифференциального уравнения второго порядка, вам следует выполнить следующие шаги:

1. Начнем с уравнения: s''(t) = 12t - 2

2. Затем проинтегрируем это уравнение два раза.

   Интегрируем первый раз по t: ∫(s''(t) dt) = ∫(12t - 2) dt

   Получим: s'(t) = 6t^2 - 2t + C₁, где C₁ - произвольная постоянная интегрирования.

3. Интегрируем второй раз по t: ∫(s'(t) dt) = ∫(6t^2 - 2t + C₁) dt

   Получим: s(t) = 2t^3 - t^2 + C₁t + C₂, где C₂ - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

4. Теперь нам нужно использовать начальные условия, которые даны при t = 1:

   s(1) = 4 s'(1) = 2

5. Подставим эти условия в уравнение:

   s(1) = 2(1)^3 - (1)^2 + C₁(1) + C₂ = 2 - 1 + C₁ + C₂ = 1 + C₁ + C₂ = 4

   s'(1) = 6(1)^2 - 2(1) + C₁ = 6 - 2 + C₁ = 4

6. Решим систему уравнений для нахождения C₁ и C₂:

   1 + C₁ + C₂ = 4 6 - 2 + C₁ = 4

7. Решение этой системы будет:

   C₁ = 1 C₂ = 2

8. Теперь, имея значения C₁ и C₂, мы можем записать частное решение:

   s(t) = 2t^3 - t^2 + t + 2

Итак, частное решение данного неполного дифференциального уравнения второго порядка при заданных начальных условиях:

s(t) = 2t^3 - t^2 + t + 2